Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2  (Okunma sayısı 65 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2772
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2
« : Eylül 09, 2019, 12:41:20 öö »
$a,b,c$ gerçel sayıları $0\leq a \leq b \leq c $ ve $a+b+c = ab + bc + ca > 0 $ koşullarını sağlıyorlar. $\sqrt{bc}(a+1) \geq 2$ eşitsizliğini kanıtlayınız. Eşitliği sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.

(Romanya)
« Son Düzenleme: Eylül 11, 2019, 04:28:15 ös Gönderen: Eray »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Bağımlı Üye
  • ******
  • İleti: 145
  • Karma: +6/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2
« Yanıtla #1 : Eylül 09, 2019, 03:02:16 ös »
Eğer $a>1$ ise $a+b+c\lt ab+ac+bc$ olur, dolayısıyla $a\leq 1$'dir. Verilen eşitlikte $bc$'yi yalnız bırakırsak, $$bc=a+(b+c)(1-a)\geq a+2\sqrt{bc}(1-a)$$ olur. $\sqrt{bc}=x$ diyelim. $$f(x)=x^2-2x(1-a)-a\geq 0$$ elde ederiz. Köklerin çarpımı negatif olduğundan bir kök pozitif biri negatiftir. $$f(\dfrac{2}{a+1})=(\dfrac{2}{a+1})^2-\dfrac{4(1-a)}{a+1}-a=-\dfrac{a(a-1)^2}{(a+1)^2}\leq 0$$ olur. Yani $\dfrac{2}{a+1}$ iki kök arasındadır. $\sqrt{bc}$ için de fonksiyon pozitif olduğundan ve $\sqrt{bc}$ de pozitif olduğundan pozitif kökten büyüktür. Dolayısıyla $$\sqrt{bc}\geq \dfrac{2}{a+1}\Rightarrow \sqrt{bc}(a+1)\geq 2$$ bulunur. Eşitlik için ilk kullandığımız eşitsizlikten $b=c$ olur. Aynı zamanda $\sqrt{bc}=b=\dfrac{2}{a+1}$ için $f(x)=0$ olmalı. $x=\dfrac{2}{a+1}$ için $$f(\dfrac{2}{a+1})=-\dfrac{a(a-1)^2}{(a+1)^2}=0$$ olacağından $a=0$ veya $a=1$ olmalı.

$a=0$ ise verilen şartta yerine yazarsak $b+c=bc$ ve $b=c$ yazarsak $b=c=2$ bulunur. $(a,b,c)=(0,2,2)$ olur.

$a=1$ ise şartta yerine yazarsak $1+b+c=b+c+bc$ buradan $bc=b^2=1$ bulunur. Buradan $(a,b,c)=(1,1,1)$ bulunur.
« Son Düzenleme: Eylül 11, 2019, 02:14:23 ös Gönderen: scarface »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal