Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1  (Okunma sayısı 57 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2772
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1
« : Eylül 09, 2019, 12:32:12 öö »
Tüm asal sayıların kümesi $\mathbb P $ olsun. Her $p,q \in \mathbb P$ için$$ f(p)^{f(q)} + q^p = f(q)^{f(p)} + p^q $$ $\ \ \ \ \ $koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb P \to \mathbb P$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Arnavutluk)
« Son Düzenleme: Eylül 11, 2019, 04:28:42 ös Gönderen: Eray »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Bağımlı Üye
  • ******
  • İleti: 145
  • Karma: +6/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1
« Yanıtla #1 : Eylül 09, 2019, 02:25:30 ös »
$p$,$q>2$ ise mod $2$'den $f(p)$ ve $f(q)$ ikisi birden tek ya da çift olmalıdır. Eğer çiftse $f(p)=2$ olmalıdır fakat yerine yazarsak, $p^q=q^p$ bulunur. Bu olmayacağı için $f(p)$ tek olmalıdır. $p=2$ için $$f(2)^{f(q)}+q^2=f(q)^{f(2)}+2^q$$ $f(q)$ tek olduğundan $f(2)$ çift olmalı. Buradan $f(2)=2$ bulunur. Yerine yazarsak $q^2-2^q=f(q)^2-2^{f(q)}$ olur. $x\geq 3$ için $$g(x)=x^2-2^x$$ olsun. $$g'(x)=2x-2^x\cdot \ln{x}$$ $$g''(x)=2-2^x\cdot (\ln{x})^2$$ $x\geq 3$ olduğundan $g''(x)<0$ olur. Yani $g'(x)$ fonksiyonu azalandır. Dolayısıyla maksimum değeri $x=3$'deyken alır. $g'(3)=6-8\cdot \ln{3}<0$ olduğundan $g(x)$ fonksiyonu da azalandır. Dolayısıyla $x^2-2^x=y^2-2^y$ olması için $x=y$ olmalıdır. Buradan $$f(p)=p$$ bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal