Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2  (Okunma sayısı 188 defa)

Çevrimdışı Arman

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 52
  • Karma: +2/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2
« : Temmuz 18, 2019, 03:31:33 öö »
Bir $ABC$ üçgeninde, $\left [ BC \right ]$ kenarı üzerinde $A_1$ ve $\left [ AC \right ]$ kenarı üzerinde $B_1$ noktaları alınıyor. Sırasıyla $\left [ AA_1 \right ]$ ve $\left [ BB_1 \right ]$ doğru parçaları üzerinde $P$ ve $Q$ noktaları, $PQ$ ile $AB$ parallel olacak şekilde alınıyor. $PB_1$ doğrusu üzerinde $P_1$ noktası, $B_1$ noktası $P$ ile $P_1$ arasında kalacak ve $\angle PP_1C=\angle BAC$ olacak şekilde alınıyor. Benzer şekilde,  $QA_1$ doğrusu üzerinde $Q_1$ noktası, $A_1$ noktası $Q$ ile $Q_1$ arasında kalacak ve $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ olacak şekilde alınıyor.

$P$, $Q$, $P_1$ ve $Q_1$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ekim 06, 2019, 12:19:18 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1699
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2
« Yanıtla #1 : Ekim 06, 2019, 12:37:16 ös »
Çizim: https://www.geogebra.org/graphing/hr5zsd4y

$QA_1$ doğrusu $AB$ ve $AC$ yi sırasıyla $Q_2$ ve $A_3$ te kessin.
$PB_1$ doğrusu $AB$ ve $BC$ yi sırasıyla $P_2$ ve $B_3$ te kessin.
$QA_1$ ile $PB_1$, $S$ de kesişsin.

$\triangle APP_2$ de $Q_2, A_1, S$ noktaları için Menelaus $$ \dfrac{AQ_2}{Q_2P_2}\dfrac{PA_1}{A_1A}\dfrac{P_2S}{SP} = 1 \tag {1}$$
$\triangle APP_2$ de $B, A_1, B_3$ noktaları için Menelaus $$ \dfrac{AB}{BP_2}\dfrac{PA_1}{A_1A}\dfrac{P_2B_3}{B_3P} = 1 \tag {2}$$
$\triangle BQQ_2$ de $P_2, B_1, S$ noktaları için Menelaus $$ \dfrac{BP_2}{P_2Q_2}\dfrac{QB_1}{B_1B}\dfrac{Q_2S}{SQ} = 1 \tag {3}$$
$\triangle BQQ_2$ de $A, B_1, A_3$ noktaları için Menelaus $$ \dfrac{BA}{AQ_2}\dfrac{QB_1}{B_1B}\dfrac{Q_2A_3}{A_3Q} = 1 \tag {4}$$
$(1)$ ile $(4)$ ü $(2)$ ile de $(3)$ ü taraf tarafa çarpıp eşitleyelim.
$$ \dfrac{AQ_2}{Q_2P_2}\dfrac{PA_1}{A_1A}\dfrac{P_2S}{SP}   \dfrac{BA}{AQ_2}\dfrac{QB_1}{B_1B}\dfrac{Q_2A_3}{A_3Q} = \dfrac{AB}{BP_2}\dfrac{PA_1}{A_1A}\dfrac{P_2B_3}{B_3P} \dfrac{BP_2}{P_2Q_2}\dfrac{QB_1}{B_1B}\dfrac{Q_2S}{SQ} \tag {5}$$
Ayrıca paralellikten $\dfrac {Q_2S}{SQ} = \dfrac {P_2S}{SP}$ olduğu için gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra $\dfrac{Q_2A_3}{A_3Q} = \dfrac{P_2B_3}{B_3P}$ elde ederiz. Bu da $QP \parallel A_3B_3$ demektir.
Soruya geri dönersek $\angle CP_1P = \angle BAC = \angle CA_3B_3$ olduğu için $C$, $P_1$, $B_3$, $A_3$ çemberseldir. Benzer şekilde $\angle CQ_1Q = \angle ABC = \angle CB_3A_3$ olduğu için $C$, $Q_1$, $B_3$, $A_3$ çemberseldir. Bu durumda çembersellikten elde ettiğimiz $\angle CP_1Q_1 = \angle CA_3Q$ eşitliğini kullanarak basit açı hesaplarıyla $$\angle PP_1Q = \angle B_1P_1C  + \angle CP_1Q = \angle P_2AB_1 + \angle Q_2AA_3 = \angle BQ_2Q_1 = \angle Q_2QP$$ elde edilir. Bu da $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$ in çembersel olduğu anlamına gelir.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 233
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 2
« Yanıtla #2 : Kasım 03, 2019, 04:36:22 ös »
$ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $w_1$ olsun.

$[BQ \cap \space w_1 = \{W\}$ , $B\not = Q$  olacak şekilde bir $W$ noktası alalım.

$[AP \cap \space w_1 = \{ Z \}$ , $A\not = Z$ olacak şekilde bir $Z$ noktası alalım.

$$m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BWC})=m(\widehat{PP_1C})$$ olduğundan dolayı $B_1,W,P_1,C$ çemberdeştir.

$$m(\widehat{CBA})=m(\widehat{AZC})=m(\widehat{QQ_1C})$$ olduğundan dolayı $A_1 , Z , Q_1 , C$ çemberdeştir.

$m(\widehat{WCB_1})=\alpha$ olsun. 

$\alpha=m(\widehat{WCB_1})=m(\widehat{ABW})=m(\widehat{PQW})=m(\widehat{B_1P_1W})$ olduğundan dolayı $Q,P,W,P_1$ çemberdeştir.

$$m(\widehat{ABC})=m(\widehat{AZC})=m(\widehat{QQ_1C})$$ olduğundan dolayı $A_1,Z,Q_1,C$ çemberdeştir.

$$m(\widehat{ZQ_1A_1})=m(\widehat{ZCB})=m(\widehat{BAZ})=m(\widehat{QPZ})$$ olduğundan $P,Q,Z,Q_1$ çemberdeştir.

Dikkat edersek $$m(\widehat{PQW})=m(\widehat{PZW})=\alpha$$ olduğundan dolayı $P,Q,Z,W$ çemberdeştir.

Dolayısıyla $P_1,W,P,Q,Z,Q_1$ çemberdeştir. İspat biter. 

Şekli bilgisayarda çizdiğim zaman ekleyeceğim.
« Son Düzenleme: Kasım 03, 2019, 07:01:45 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal