$1.$ aşama $2.$ aşama ve uluslararası matematik olimpiyatları düzeyinde Diyafont Denklem soruları seçtim. Çözümleri de isimlerinizle beraber paylaşırsak sevinirim. Pdf haline getiriyorum.
NOT:Siteye PDF eklemeyi bilmediğim için bu şekilde gönderiyorum.
$27.08.2019$ $15:49$ Şu anda çözümü henüz bulanamamış sorular $-$
$1)$ $\frac{x^3+y^3+z^3}{3}=xyz+27$ denklemini $x<y<z$ için pozitif tam sayılarda çözünüz.
$2)$ $n^4+3n^2+1$ sayısının hiçbir $n$ pozitif tam sayısı için tamkare olmadığını gösteriniz.(UMO $2.$ Aşama $1992$)
$3)$ $y^2=x^3+7$ denklemini tam sayılarda çözünüz.
$4)$ $k!+48=48.(k+1)^m$ olacak şekilde $k$ ve $m$ negatif olmayan tam sayılarının bulunmadığını gösteriniz.(Kanada Matematik Olimpiyatı)
$5)$ $2^m-3^n=7$ olacak şekilde tüm $(m,n)$ ikililerini bulunuz.(Avusturya-Polonya Matematik Olimpiyatı $1993$)
$6)$ $a^2+b=b^{1999}$ denklemini tam sayılarda çözünüz.(Estonya Matematik Olimpiyatı $1999$)
$7)$ $a^3+b^3+c^3=2001$ denklemini sağlayan kaç tane $(a,b,c)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?($Balkan Junior 2001$)
$8)$ $5.(xy+xz+yz)=3xyz$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümlerini bulunuz.
$9)$ $x^3-y^3=xy+61$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.(Sovyet Matematik Olimpiyatı $1981$)
$10)$ $x^3+9xy+127=y^3$ denklemini sağlayan kaç tane $(x,y)$ tam sayı çifti vardır?
$11)$ $n^3+7n-133$ ifadesi pozitif bir tam sayının kübü ise $n$ sayısına ''iyi sayı'' diyelim. Tüm iyi sayıları bulunuz.(USC Math Contest)
$12)$ $n^2-19n+99$ sayısı tamkare olacak şekildeki tüm $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?(AIME $1999$)
$13)$ $n^4+n^3+1$ tamkare olacak şekilde tüm $n$ tam sayılarını bulunuz.
$14)$ $5n^2=36a^2+18b^2+6c^2$ denklemini tam sayılarda çözünüz.(Asya-Pasifik Matematik Olimpiyatı$1989$)
$15)$ $10x^3+20y^3+8xyz=1999z^3$ denkleminin tam sayılarda kaç çözümü vardır?(Municipial $1999$)
$16)$ $(m-n)^2=\frac{4mn}{m+n-1}$ denklemini sağlayan $0<m+n<100$ olacak şekilde kaç $(m,n)$ tam sayı çifti vardır?(Estonya Matematik Olimpiyatı $1999$)
17)Aşağıdaki denklem sistemini pozitif tam sayılar kümesinde çözünüz.(İsveç Matematik Olimpiyatı $1984$)\begin{equation*}
\begin{cases}
a^3-b^3-c^3=3abc,
\\
a^2=2.(a+b+c)
\end{cases}
\end{equation*}
$18)$ $2n^3-m^3=mn^2+11$ denklemini tam sayılarda çözünüz.(İsveç Matematik Olimpiyatı $1994$)
$19)$ $x,y,\frac{x^2+y^2+6}{xy}$ sayıları tam sayı ise $\frac{x^2+y^2+6}{xy}$ sayısının tamküp olduğunu gösteriniz.(Estonya Matematik Olimpiyatı $1995$)
$20)$ $m,n$ tam sayılar, $p$ bir asal sayı olmak üzere $\frac{13^m+p.2^n}{13^m-p.2^n}$ bir pozitif tam sayı olacak şekilde kaç $(m,n,p)$ üçlüsü vardır?(UMO $1.$ Aşama $2018$)
$21)$ $x$ bir asal sayı olmak üzere $x-y^4=4$ eşitliğini tam sayılarda çözünüz.
$22)$ $x^6+3x^3+1=y^4$ olacak şekilde $(x,y)$ ikililerini bulunuz.(Romanya Matematik Olimpiyatı)
$23)$ $a,b,c$ tam sayı ve $1<a<b<c$ olmak üzere, (a-1).(b-1).(c-1) in abc-1 in bölenlerinden biri olmasını sağlayan $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.(IMO $1992$)
$24)$ $(x+1)^4-(x-1)^4=y^3$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tam sayı ikililerini bulunuz.(Avusturya Matematik Olimpiyatı)
$25)$ $p^3-q^5=(p+q)^2$ eşitliğini asal sayılar için çözünüz.(Rusya Matematik Olimpiyatı)
$26)$ $x^2-y!=2001$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.
$27)$ $5^x.7^y+4=3^z$ denklemini negatif olmayan tam sayılarda çözünüz.(Bulgaristan Matematik Olimpiyatı)
$28)$ $x^3-4xy+y^3=-1$ eşitliğini sağlayan tüm tam sayı değerlerini bulunuz.
$29)$ $x^2-y^2=2xyz$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.
$30)$ $x^2+axy+y^2=z^2$ denkleminin $(x,y,z)$ için genel çözümlerini bulunuz .
$31)$ $xy.(x^2+y^2)=2z^2$ denklemini tam sayılarda çözünüz.
$32)$ $ p^3+p^2+11p+2=q$ denklemini asal sayılarda çözünüz.
$33)$ $x^3-y^3=2y^2+1$ denklemini tam sayılarda çözünüz.
$34)$ $x^4+4^x=p$ denklemini $p$ asal sayısı ve $x$ tam sayısı için çözünüz.
$35)$ $c^2+1=(a^2-1).(b^2-1)$ denkleminin bütün çözümlerini bulunuz.
$36)$ $9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$ denkleminin tam sayı çözümlerini bulunuz.
$37)$ $x$ ve $y$ $5$' ten büyük asal çarpanı olmayan sayılar olmayan pozitif sayılar olmak üzere $k\ge0$ olan bir $k$ tam sayısı için $x^2-y^2=2^k$ denklemini çözünüz.
$38)$ $n^2+3^n$ sayısını tamkare yapan bütün pozitif tam sayıları bulunuz.
$39)$ $a,b,m,n$ pozitif tam sayılardır. $n>1$ için $a^n+b^n=2^m$ ise $a=b$ olduğunu kanıtlayınız.
$40)$ $2^m+3^n=k^2$ denklemini sağlayan pozitif tam sayıları bulunuz.
$41)$ $p^m.q^n=(p+q)^2+1$ olacak şekildeki tüm $(m,n,p,q)$ pozitif tam sayılarını bulunuz.
$42)$ $ab\neq1$ $a,b\ge0$ olmak üzere $k=\dfrac{a^2+ab+b^2}{ab-1}$ ifadesi ile elde edilebilecek tüm $k\ge0$ değerlerini bulunuz.
$43)$ $x^{2006}-4y^{2006}-2006=4y^{2007}+2007y$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç çözümü vardır?
$44)$ $n\ge3$ koşulunu sağlayan her doğal sayı için $7x_n^2+y_n^2=2^n$ denklemini sağlayacak $x_n,y_n$ tek bir doğal sayı ikilisinin bulunduğunu gösteriniz.
$45)$ $\varphi(n)=\varphi(2n)$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.($\varphi(n)$, $1$ ile $n$ arasında ($n$ dahil), $n$'den küçük $n$ ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısını belirtmektedir.)
$46)$ $x^4+y^4=z^2$ denkleminin pozitif tam sayılar kümesinde çözümünün olmadığını gösteriniz.
$47)$ $a!+b^3=18+c^3$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.(UMO $1.$ Aşama $2013$)
$48)$ $m^3-n^3=9^k+123$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n,k)$ negatif olmayan tam sayı üçlüsü vardır?(UMO $1.$ Aşama $2014$)
$49)$ $p$ , $4p^2+1$ $6p^2+1$ birer asal sayı olacak şekildeki $p$ sayıları için $2x^3-y^3=p$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.
$50)$ $t^2+1=s.(s+1)$ denklemini tam sayılarda çözünüz.(UMO $2.$ Aşama $1994$)
$51)$ $x^3+3367=2^n$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.(UMO $2.$ Aşama $1998$)
$52)$ $3^x+11^y=z^2$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.(UMO $2.$ Aşama $2001$)
$53)$ $5^m+7^n=k^3$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n,k)$ negatif olmayan tam sayı üçlülerini bulunuz.(UMO $2.$ Aşama $2005$)
$54)$ $k>1$ bir sayı ve $p=6k+1$ bir sayı ve $m=2^p-1$ ise $\frac{2^{m-1}-1}{127m}$ sayısının bir tam sayı olduğunu gösteriniz.(UMO $2.$ Aşama $2007$)
$55)$ $2^n+n=m!$ denklemini $(m,n)$ pozitif tam sayıları için çözünüz.(UMO $2.$ Aşama $2013$)
$56)$ $x^3=3^y.7^z+8$ eşitliğini sağlayan $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlülerini bulunuz.(UMO $2.$ Aşama $2014$)
$57)$ $m,n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $k=\dfrac{(m+n)^2}{4m.(m-n)^2+4}$ ifadesi tam sayı ise $k$ nın tamkare olduğunu gösteriniz.(UMO $2.$ Aşama $2015$)
$58)$ $a^2+b^2+c^2+d^2=a^2b^2c^2d^2$ denkleminin pozitif tam sayılarda kaç çözümü vardır?(UMO TSÇ $1991$)
$59)$ $a^2+b^2+3=abc$ olacak şekilde $(a,b,c)$ çözümlerini bulunuz.(UMO TSÇ $1994$)
$60)$ $n$ pozitif bir tam sayı olduğuna göre $x^2-xy+y^2=n$ denklemini sağlayan $(x,y)$ pozitif tam sayı sıralı ikililerinin sayısının $3$ ile bölündüğünü ispatlayınız.(UMO TSÇ $2000$)
$61)$ $5^x=1+4y+y^4$ eşitliğini sağlayan $(x,y)$ tam sayı ikililerini bulunuz.(UMO TSÇ $2001$)
$62)$ $m^6=n^{n+1}+n-1$ eşitliğini sağlayan $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.(UMO TSÇ $2013$)
$63)$ $l,m,n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $p^{2l-1}.m.(mn+1)^2+m^2$ bir tamkare ise $m$ nin de bir tamkare olduğunu ispatlayınız.(UMO TSÇ $2015$)
$64)$ Ondalık yazılımındaki rakamların çarpımı $x^2-10x-22$ ye eşit olan tüm $x$ doğal sayılarını bulunuz.(IMO $1968$)
$65)$ $2^n+1=n^2m$ denklemini $m$ tam sayıları ve $n>1$ tam sayıları için çözünüz.(IMO $1990$)
$66)$ $\dfrac{n^3+1}{mn-1}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan tüm $(m,n)$ sıralı pozitif tam sayı ikililerinin sayısını bulunuz.(IMO $1994$)
$67)$ $\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$ bir pozitif tam sayı olacak şekilde kaç $(a,b)$ pozitif tamsayısı vardır?(IMO $2003$)
$68)$ $1+2^x+2^{2x+1}=y^2$ denklemini tam sayılarda çözünüz.(IMO $2006$)
$69)$ $k,n$ negatif olmayan tam sayılar ve $p$ bir asal sayı ise $5^k-3^n=p^2$ denklemini çözünüz.
$70)$ $m^4+2n^3+1=mn^3+n$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ tam sayı ikililerini bulunuz.(Avr.Kızlar.mat.olim.TSÇ $2015$)
$71)$ $k!=(2^n-1).(2^n-2).(2^n-4)...(2^n-2^{n-1})$ denklemini sağlayan $(k,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.
$72)$ $7n^2=m^3+15m$ denkleminin tam sayılarda kaç çözümü vardır ? (İSBO $2019$ Ortaokul)
$73)$ $a>1$ ve $b>1$ tam sayıları için $a^{b^2}=b^a$ denklemini çözünüz.
$74)$ $2^x=3^y+5$ denklemini tam sayılarda çözünüz. (IMO $1959-1966$ LongList)
$75)$ $x^2+y^2=(x-y)^3$ diyafont denkleminin tüm tam sayı çözümlerini bulunuz. (IMO $1971$ LongList)
$76)$ $1+x+x^2+x^3+x^4=y^4$ denklemini tamsayılarda çözünüz. (IMO $1972$ LongList)
$77)$ $p^3+m.(p+2)=m^2+p+1$ denklemini $p$ asal sayıları ve $m$ pozitif tam sayıları için çözünüz. ($AOPS$)
$78)$ $2a^4-2a^2=b^2-1$ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz. ($AOPS$)