Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 31  (Okunma sayısı 297 defa)

Çevrimdışı Squidward

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 57
  • Karma: +3/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 31
« : Haziran 08, 2019, 03:51:23 ös »
$x^9 + x^7 + x^6 + x^5 + x^2 - x - 1$ polinomunun gerçel kökler toplamı $A$ ve çarpımı $B$ olmak üzere, $A(B+1)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ -2 \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 2$
ibc

Çevrimdışı samienes06

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 17
  • Karma: +1/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 31
« Yanıtla #1 : Temmuz 20, 2019, 03:20:23 öö »
İlk olarak denkleme $x^3$ terimini ekleyip çıkartıyoruz. Böylece ortak çarpanları $(x^3+x+1)$ olan ifadeler elde edebileceğiz. $x^6(x^3+x+1)+x^2(x^3+x+1)-(x^3+x+1)$ ifadesini düzenlediğimizde $(x^6+x^2-1)(x^3+x+1)=0$ denklemini elde ederiz. İlk denklemde $x^2=t$ dönüşümü yaptığımızda elimizde $(t^3+t-1)(x^3+x+1)=0$ gibi bir denklem kalır. Fonksiyonların türevleri $3x^2+1$ veya $3t^2+1$ olduğundan sürekli artanlardır ve tek kökleri vardır. Burada denklemlerde fark edebileceğimiz $x^3+x$ fonksiyonunu bir birim yukarı kaydırdığımızda $x^3+x+1$ fonksiyonunu elde ederiz ve $X$ eksenini kestiği nokta negatif olacaktır. Diğer yandan incelendiğinde $t^3+t-1$ fonksiyonunun ekseni kestiği nokta az önceki noktanın ters işaretlisi yani pozitif olmalıdır. $x^3+x+1=0$ denkleminin köküne $-a$ diyelim öte yandan diğer denklemi sağlayan $t$ değeri de $a$ ya eşit olmalıdır. Buradan denklemi sağlayan x değerlerimizi $-a, \sqrt{a}\ ve  -\sqrt{a}$ buluruz. Soruda $A(B+1)$ yani $-a^3-a$ sorulmaktadır. $x^3+x+1=0$ denkleminin bir kökünün $-a$ olduğunu söylemiştik, kökü yerine koyduğumuzda $-a^3-a=-1$ gelmektedir.

Yanıt:$\boxed{B}$
« Son Düzenleme: Temmuz 20, 2019, 03:27:09 öö Gönderen: samienes06 »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal