Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2019 Soru 9  (Okunma sayısı 565 defa)

Çevrimdışı Arman

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 52
  • Karma: +2/-0
Tübitak Lise Takım Seçme 2019 Soru 9
« : Nisan 03, 2019, 01:50:27 öö »
$x,y,z$ gerçel sayılar olmak üzere $y\gt 2z\gt 4x$ ve
$$2(x^3+y^3+z^3)+15(xy^2+yz^2+zx^2)\gt 16(x^2y+y^2z+z^2x)+2xyz$$
koşulları sağlanıyorsa $4x+y\gt 4z$ olduğunu kanıtlayınız.
« Son Düzenleme: Eylül 16, 2019, 04:04:48 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 223
  • Karma: +6/-0
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 2019 Soru 9
« Yanıtla #1 : Eylül 16, 2019, 04:58:38 ös »
$y=4x+a$ ve $z=2x+b$ diyelim. $a> 2b> 0$ olur ve bizden ispatlamamızı istenen eşitsizlik $a>4b$ haline dönüşür. İkinci şartı yeni dönüşümlerle yazıp düzenlersek, $$-49x^2b+x(7a^2-70ab+56b^2)+(2a^3-16a^2b+15ab^2+2b^3)> 0 \tag1$$ bulunur.

$(1)$'deki ifadeyi $x$'e bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak düşünürsek baş katsayı negatif olduğundan bu şartı sağlayan bir $x$ olması için ifadenin tam iki kökü olması gerekir. Böylece iki kök arası için ifade pozitif olacaktır. (Tek kökü olursa alabileceği en büyük değer $0$ olur) Dolayısıyla $\Delta>0$ olmalıdır. $$\Delta > 0 \Rightarrow \dfrac{\Delta}{49}=(a^2-10ab+8b^2)^2+4b(2a^3-16a^2b+15ab^2+2b^3)> 0$$  olmalı. Eşitsizliğin iki tarafını da $b^4$'e bölersek ve $\dfrac{a}{b}=k$ dersek $$(k^2-10k+8)^2+4(2k^3-16k^2+15k+2)=(k-2)(k^3-10k^2+32k-36)> 0$$ olmalıdır. $a>2b$ olduğundan $k> 2$'dir. Dolayısıyla $$k^3-10k^2+32k-36> 0$$ olmalıdır. $f(x)=x^3-10x^2+32x-36$ için $$f'(x)=3x^2-20x+32=(3x-8)(x-4)$$ olur. $f$ fonksiyonunun türevini $0$'a eşitlersek $x=4$ ve $x=\dfrac{8}{3}$ değerleri ekstremum noktaları bulunur. $f$ fonksiyonu $-\infty$'den geldiği için $x=\dfrac{8}{3}$ yerel maksimum, $x=4$ yerel minimumdur. Yani fonksiyon $(-\infty,\dfrac{8}{3})$ ve $(4,\infty)$ aralığında artan $(\dfrac{8}{3},4)$ aralığında azalandır.

$f(\dfrac{8}{3})=-\dfrac{76}{27}$ ve $f(4)=-4$ olduğundan $(-\infty,4)$ aralığında her zaman negatiftir. Fonksiyonun pozitif olması için $x>4$ olmalıdır. Buradan da $k=\dfrac{a}{b}>4$ bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal