Gönderen Konu: Tamküp sorusu  (Okunma sayısı 188 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 59
  • Karma: 0
Tamküp sorusu
« : Ocak 12, 2019, 02:12:46 ös »
$x$,$y$,$\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$ sayıları tamsayı ise, $\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$ ifadesinin tamküp olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Ocak 15, 2019, 05:11:12 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 96
  • Karma: 1
Ynt: Tamküp sorusu
« Yanıtla #1 : Şubat 07, 2019, 05:06:08 ös »
Verilen ifadelerde $x$ yerine $-x$ alırsak ifadenin tamsayı olması veya tamküp olması değişmeyeceğinden dolayı $x$ ve $y$'yi pozitif alabiliriz. Öncelikle $x=y$ için bakalım, $$\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}=\dfrac{2x^2+6}{x^2}=2+\dfrac{6}{x^2}$$ olur. Bunun tamsayı olması için $x=1$ olmalıdır. $x=1$ için de tamküp olduğu görülür. Şimdi geriye kalan çözümlerden $x>y$ olanlara bakalım.(simetrik bir ifade olduğu için $y>x$ durumlarına bakmaya gerek yok.) Bu çözümler arasında $x$ değerinin en küçük olduğu çözümü ele alalım.Bu $(x,y)$ için $\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}=k$ olsun. $$x^2+y^2+6=kxy \Rightarrow x^2-kxy+(y^2+6)=0$$ olur. Bu denklemi $x$'e bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak düşünelim ve diğer çözüm $a$ olsun.Vieta teoreminden, $$a+x=ky,\space ax=y^2+6$$ olduğu görülür.Bu iki ifadeden $a$ sayısının pozitif bir tamsayı olduğu görülebilir. Dolayısıyla $(a,y)$ ikilisi de bir çözümdür. Kabulden dolayı $a\geq x$ olmalı. $$x^2+6 \geq y^2+6=ax\geq x^2 \Rightarrow x^2\geq y^2\geq x^2-6$$ eşitsizliğini elde etmiş oluruz. Eğer $x\geq 4$ ise $x^2-6\geq (x-1)^2$ olacağından $$x^2\geq y^2\geq x^2-6\geq (x-1)^2$$ olur ve ardışık tamkareler arasında tamkare olamayacağı için buradan çözüm gelmez. $4>x$ için de olası sadece $(x,y)=(3,2),(3,1),(2,1)$ ikilileri vardır fakat bunların hiçbiri ifadenin tamsayı olmasını sağlamaz. Dolayısıyla $\dfrac{x^2+y^2+6}{xy}$ ifadesi sadece $(x,y)=(1,1)$ ikilisi için tamsayıdır ve bu durumda da tamküp olur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal