Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 30  (Okunma sayısı 561 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 81
  • Karma: 0
Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 30
« : Aralık 21, 2018, 07:32:56 ös »
$m$ ve $n$ tamsayılar, $p$ bir asal sayı olmak üzere kaç farklı $(m,n,p)$ üçlüsü için $\dfrac{13^m+p\cdot 2^n}{13^m-p\cdot 2^n}$ bir pozitif tamsayıdır?
$\textbf{a)} 0   \qquad\textbf{b)} 1    \qquad \textbf{c)} 2    \qquad \textbf{d)} 3    \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $
« Son Düzenleme: Ocak 09, 2019, 02:10:44 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 81
  • Karma: 0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 30
« Yanıtla #1 : Ocak 08, 2019, 07:59:46 ös »
Yanıt:$\boxed{B}$

Soruda istenen ifadeye $a$ diyelim.
$\frac{13^m+p.2^n}{13^m-p.2^n}=a$ diyelim. İçler dışlar çarpımı yapıp düzenlersek ifademiz
$(1+a).p.2^n=13^m.(a-1)$     $4$ bilinmeyenli diyafont denklemi elde edilir. Bu ifadeden yola çıkarak
$p.2^n=13^m.\frac{a-1}{a+1}$ haline gelir. Sağ taraf birlikte düşünüldüğünde tamsayı olmalıdır.
$p.2^n=13^m-\frac{2.13^m}{a+1}$ haline gelir. Buradan
$a+1=2$,$a+1=1$,$a+1=-1$,$a+1=-2$,$a+1=13^k$, $ a+1=-13^k$,$a+1=2.13^k$,$a+1=-2.13^k$ ;($k≤m$)  eşitlikleri elde edilir. Bu ifadelerden eşitliği mümkün olan durumları bulalım.
Eşitliğin sol tarafı $0(mod2)$ olduğundan eşitliğin sağ tarafında da ifade çift olmalıdır.  $13^m≡1(mod2)$ olduğundan $\frac{2.13^m}{a+1}≡1(mod2)$ olmalıdır. Bunun için $a+1$ çift olmalıdır. $a>0$ olduğu da göz önüne alınırsa
$a+1=2$ veya $a+1=2.13^k$,$k≤m$  olabilir.
$1)$ $a+1=2$ olması durumunda $2.p.2^n=0$ olur ve $2^n>0$ ve $p>0$ olduğundan mümkün değildir.
$2)$ $a+1=2.13^k$,$k≤m$ olması durumunda $a=2.13^k-1$  olur ve
$p.2^n=13^m-13^{m-k}$ elde edilir. $m≠k$ için ifade  $13^g.(13^t-1)$,$g∈N$ ve $t∈N$ olması gerektiğinden daima $12$ ve $13$ ile bölünür. dolayısıyla $p$ asal olamaz. $m=k$ olmalıdır.
$p.2^n=13^m-1$ Bu ifadenin içinde daima $12$ çarpanı bulanacağından ve başka tek çarpan daha  bulunacağından $m>1$ için $p$ asal olamaz

İddia: $m>1$ için $p.2^n=13^m-1$ ifadesine $13^m-1$ sayısının $2$ asal carpanı olan $p$ asal sayısı yoktur.
İspatı ise  bu adreste mevcuttur : http://geomania.org/forum/index.php?topic=6367.msg18501;topicseen#msg18501
 
$m=1$ alınmalıdır.
$p.2^n=12$ olur. $n=2$ ve $p=3$ elde edilir.
$(m,n,p)=(1,2,3)$ elde edilir.


« Son Düzenleme: Nisan 03, 2019, 02:04:47 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal