Gönderen Konu: Trigonometri sorusu  (Okunma sayısı 149 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 52
  • Karma: 0
Trigonometri sorusu
« : Aralık 12, 2018, 05:49:29 ös »
$\cos^2(\pi(a-x))-2\cos(\pi(a-x))+\cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot\cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})+2=0$ denkleminin sadece bir reel kökü olacak şekildeki en küçük $a$ doğal sayısını bulunuz.
« Son Düzenleme: Aralık 16, 2018, 04:22:13 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 92
  • Karma: 1
Ynt: Trigonometri sorusu
« Yanıtla #1 : Şubat 09, 2019, 09:15:21 ös »
Öncelikle sorunun mu yanlış yoksa benim çözümüm mü yanlış bilmiyorum bu yüzden eğer yanlışım varsa lütfen düzeltin.

Denklemi düzenlersek, $(cos(\pi (a-x))-1)^2+cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})=-1$ olur. Burada $(cos(\pi (a-x))-1)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $0$, $cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $-1$ olduğu görülebilir. Dolayısıyla bu iki ifadenin toplamının $-1$ olabilmesi için ikisinin de en küçük değerini alması gerekir. $$\Rightarrow cos(\pi (a-x))=1 \Rightarrow a-x=2k, \space k\in  \mathbb{Z}\space \dots(1)$$ Buradan $x$'in tamsayı olduğu görülür.
$cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})=-1$ denkleminde $\dfrac{\pi x}{2a}=t-\dfrac{\pi}{3}$ yazarsak, $$cos(3t-\pi)\cdot cos(t)=-1\Rightarrow cos(3t)\cdot cos(t)=1\Rightarrow t=n\pi, \space n\in \mathbb{Z}\Rightarrow \dfrac{x}{2a}=n-\dfrac{1}{3}$$ Buradan $a$'nın $3$'ün, $x$'in $2$'nin katı olması gerektiği görülür. Aynı zamanda $(1)$ nolu denklemden $a$'nın da çift olması gerektiği görülür. Eğer $a=6m$ dersek, $x=4m(3n-1)$ olur. Yani her çözüm olmasını sağlayan her $a$ için sonsuz $x$ çözümü vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 52
  • Karma: 0
Ynt: Trigonometri sorusu
« Yanıtla #2 : Şubat 10, 2019, 11:02:24 ös »
Aldığım kaynakta x için aralık belirtilmesi unutulmus sanırım
« Son Düzenleme: Şubat 10, 2019, 11:04:13 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal