Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 19  (Okunma sayısı 75 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 34
  • Karma: 0
Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 19
« : Kasım 26, 2018, 08:09:20 ös »
Bir $a_1,a_2,...,a_{100}$ pozitif gerçel sayı dizisinde $a_1=1$ ve her $n=1,2,...,99$ için
 $ \frac {1}{a_{n+1}}+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(a_i+a_{i+1}) \sqrt{a_i^2+i^2}}=1$
sağlanıyorsa, $a_{100}$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 25$
« Son Düzenleme: Aralık 02, 2018, 03:57:48 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 89
  • Karma: 1
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 19
« Yanıtla #1 : Aralık 08, 2018, 11:19:42 öö »
Cevap: $\boxed{B}$

$$\dfrac {1}{a_{n+1}}+\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(a_i+a_{i+1}) \sqrt{a_i^2+i^2}}=1$$  $n$ yerine $n-1$ yazarsak ve denklemden çıkarırsak, $$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n}}+\dfrac{1}{(a_{n}+a_{n+1})\sqrt{a_{n}^2+n^2}}=0$$ $n=1$ yazarsak $a_2=\sqrt{2}$ bulunur. Yani $a_n={\sqrt{n}}$ olabilir. Tümevarımla gösterelim,
$n=1,2,\cdots , k$ için doğru olsun.$n=k+1$ için ispatlayalım. Denklemde $n=k$ yazarsak ve $a_{k+1}=x$ dersek, $$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{(x+\sqrt{k})\sqrt{k(k+1)}}=0$$ payda eşitlersek, $$x^2\sqrt{k+1}-x-k\sqrt{k+1}=0 \Rightarrow (x-\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}x+k)=0$$ bulunur. Dizi, pozitif gerçel sayı dizisi olduğundan $x=a_{k+1}=\sqrt{k+1}$ olur. Dolayısıyla her $n$ için $a_n=\sqrt{n}$ olur. $a_{100}=10$ olur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal