Gönderen Konu: 2008 IMO Shortlist G4 {çözüldü}  (Okunma sayısı 330 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2687
  • Karma: +17/-0
  • Banana Republic
2008 IMO Shortlist G4 {çözüldü}
« : Kasım 25, 2018, 12:07:25 öö »
Dar açılı $ABC$ üçgeninde $BE$ ve $CF$ doğru parçaları yüksekliktir. $A$ ve $F$ noktalarından geçen iki çember $BC$ doğrusuna $P$ ve $Q$ noktalarında, $B$ noktası $C$ ile $Q$ arasında bulunacak biçimde, teğettir. $PE$ ve $QF$ doğrularının $AEF$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde kesiştiğini ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Ağustos 01, 2019, 11:55:26 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2687
  • Karma: +17/-0
  • Banana Republic
Ynt: 2008 IMO Shortlist G4
« Yanıtla #1 : Kasım 25, 2018, 12:09:28 öö »
$ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, $A$ dan inen yükseklik ayağı $D$ olsun. $QF$ ve $PE$ doğrularının kesişim noktasını da $L$ ile gösterelim. $AFQ$ ve $AFP$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $BC$ doğrusuna teğet olarak verildiğinden, çemberde kuvvet teoremi gereği $$ |BQ|^2=|BP|^2 = |BF|\cdot |BA| \tag{1}$$ olur. Şimdi $AFHE$ ile $CDHE$ nin birer kirişler dörtgeni oluşundan ve çemberde kuvvet teoreminden dolayı $$ |BF|\cdot |BA| = |BH|\cdot |BE| = |BD|\cdot |BC| \tag{2} $$ elde ederiz.


$(1)$ ve $(2)$ den $ |BP|^2= |BH|\cdot |BE|$ olup $BHP \sim BPE $ benzerliği elde edilir. Böylece $$m(\widehat{BHP})=m(\widehat{BPE}) \tag{3} $$ bulunur.


Buraya kadar problemin çözümünde kayda değer bir ilerleme sağlamış olduk. Şimdiki amacımız $PQFH$ dörtgeninin bir kirişler dörtgeni olduğunu ispat etmek olacaktır. Bunun için $$ |CH|\cdot |CF|= |CP|\cdot |CQ| \tag{4} $$ olduğunu göstermemiz yeterli olur. Bu eşitliği ispat edelim.


$BDHF$ kirişler dörtgeni olduğundan $$ |CH|\cdot |CF|= |CD|\cdot |CB| \tag{5} $$ olur. Ayrıca $(1)$, $(2)$ eşitliklerini de göz önüne alarak

$\ \ \ \ |CD|\cdot |CB|= (|BC|-|BD|)\cdot |BC| =  |BC|^2 - |BD|\cdot |BC| = |BC|^2 - |BP|^2 \\ = (|BC|-|BP|)(|BC|+|BP|) = |CP|\cdot |CQ|$

elde edilir. Böylece $(4)$ ispatlanmış olur. $PQFH$ kirişler dörtgeni olduğundan $$ m(\widehat{FQP}) = m(\widehat{PHC}) \tag {6}$$ olur.


$m(\widehat{BHP}) + m(\widehat{PHC}) $ toplamı $m(\widehat{BAC}) $ ile bütünler, $m(\widehat{BPE}) + m(\widehat{FQP}) $ toplamı $m(\widehat{QLP}) $ ile bütünlerdir. $(3)$ ve $(6)$ açı eşitlikleri göz önüne alınırsa, $m(\widehat{BHP}) + m(\widehat{PHC}) = m(\widehat{BPE}) + m(\widehat{FQP}) $ olur. Buna göre $$m(\widehat{BAC}) =  m(\widehat{QLP}) \tag{7} $$ olur. Bu son eşitlik $A, F, H, E, L $ noktalarının çembersel olduğunu gösterir.


Notlar:

1. Bu tür soruların çözümünde her bir adım incelenerek ilerlenmesinde büyük fayda vardır. Örneğin $(5)$ eşitliğinin ispatında $\cos B$ türünden uzunluk eşitlikleri yazmak oldukça kısa sonuç verecektir. $|BD|= |AB|\cos B$, $|BF|=|BC|\cos B$ v.b. eşitliklerle $(5)$'i ispatlamayı deneyiniz.

2. $(1)$, $(2)$ eşitlikleri $B$ merkezli ve $r=|BP|$ yarıçaplı çembere göre evirtim (inversiyon) kullanımını kuvvetli biçimde çağrıştırmaktadır. Bu türlü bir çözüm yöntemini denemek, ilgilenenlere iyi bir antrenman olacaktır.
« Son Düzenleme: Ağustos 03, 2019, 04:15:27 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal