Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 04

[Squidward]

• Tweet

Her elemanı $6^{12}$ sayısının bir pozitif böleni olan ve herhangi iki farklı elemanının çarpımı tam küp olmayan bir kümede en çok kaç eleman bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 65 \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 73 \qquad\textbf{d)}\ 77 \qquad\textbf{e)}\ 80$

[Squidward]

• Tweet

Yanıt: $\boxed C$

$6^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$dır. Bir kümeden seçilen iki sayının çarpımının bir küp olmaması için seçilen bir kümedeki tüm üslerin $3$'e bölündüğünde verdiği kalan aynı olmalıdır ve $3$'e bölünen iki sayı alamayız, bir tane alırsak $1$'i alamayız, $1$'i alırsak da $3$'e bölünen sayımızı alamayız, bir şey değişmez. $3k+1$ ve $3k+2$ formunda eşit sayıda eleman olduğundan hangisi aldığımız farketmez. $12$'ye kadar $3k+1$ formunda 4 sayı vardır, hem $2$ hem $3$'ün üslerini alırsak $8$ tane çarpanımız olur, $1$'i de dahil ederek çarpma prensibinden $9 \cdot 8$ sayımız olur, $1$'i bu çarpmadan elde edemeyeceğimizden toplam $73$ tane elemanımız olur.