Gönderen Konu: İntegral Soruları  (Okunma sayısı 882 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 223
  • Karma: +6/-0
İntegral Soruları
« : Ağustos 10, 2018, 01:09:09 öö »
$1)$ $$\int_{\frac{1}{e}}^{\infty} \dfrac{dx}{x^2\sqrt{1+\ln{x}}}=?$$
$2)$ $$\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln \left (\dfrac{1+x^8}{1+x^4}\right )}{(x+1)^2\ln{x}} dx=?$$
$3)$ $n$ doğal sayı ise, $$\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2n+1}{x}}{x} dx=?$$
$4)$ $\ln{x}=f(x)+2\ln{(f(x))}$ ise $$ \int_{0}^{e} f(x) dx=?$$
$5)$ $$\lim_{n\to \infty} n\int_{0}^{\dfrac{1}{n}}\ln {(\cos x+1)} dx=?$$

Bonus) $i^2=-1$ olmak üzere $$ \cos \left ( i\cdot \ln \left ( \pi +\sqrt{\pi^2-1} \right ) \right )=?$$
« Son Düzenleme: Ekim 10, 2019, 09:20:11 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 233
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: 1)
« Yanıtla #1 : Aralık 02, 2018, 06:17:35 ös »
verilen ifadede $1+\ln{x}=u^2$ dönüşümü yaparsak $\int\limits^{\infty}_{0} {\frac{2u}{u\cdot e^{u^2-1}}}  du$ düzenlersek
$2e\cdot \int\limits^{\infty}_{0} {e^{-u^2}}  du$ yani $2e\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ yani $e \sqrt{\pi}$ bulunur.





not:$\int\limits^{\infty}_{0} {e^{-zx^2}}  dx=\sqrt{\frac{\pi}{4z}}$
« Son Düzenleme: Ekim 06, 2019, 11:24:31 ös Gönderen: metonster »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 223
  • Karma: +6/-0
Ynt: İntegral Soruları
« Yanıtla #2 : Mayıs 08, 2019, 11:42:08 öö »
$2)$ $x=\dfrac{1}{t}$ dönüşümü yaparsak, $dx=-\dfrac{1}{t^2}dt$ ve $$I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln{\left ( \dfrac{1+x^8}{1+x^4}\right )}}{(x+1)^2\ln{x}} dx=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln \left (\dfrac{1+\left (\dfrac{1}{t}\right )^8}{1+\left (\dfrac{1}{t}\right )^4}\right )}{t^2\left (\dfrac{1}{t}+1\right )^2\ln\left (\dfrac{1}{t}\right )} dt=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\left (\dfrac{1+t^8}{1+t^4}\right )-\ln(t^4)}{-(t+1)^2\ln t} dt$$ Bu değerler sadece sayı olduğundan $t$ yerine $x$ yazabiliriz. $$\Rightarrow I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\ln\left (\dfrac{1+x^8}{1+x^4}\right )}{(x+1)^2\ln x} dx=\int_{0}^{\infty}\dfrac{4\ln x-\ln\left (\dfrac{1+x^8}{1+x^4}\right )}{(x+1)^2\ln x} dx$$ İki ifadeyi toplarsak $$2I=\int_{0}^{\infty}\dfrac{4\ln(x)}{(x+1)^2\ln x} dx=\int_{0}^{\infty}\dfrac{4}{(x+1)^2}=-\dfrac{4}{x+1}_{0}^{\infty}=4$$ $$\Rightarrow I=2$$
« Son Düzenleme: Ekim 10, 2019, 09:28:12 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı samienes06

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 17
  • Karma: +1/-0
Ynt: İntegral Soruları
« Yanıtla #3 : Ağustos 29, 2019, 03:28:55 öö »
Bonus) $\cos \left ( i\cdot \ln \left ( \pi +\sqrt{\pi^2-1}\right )\right )=?$

İlk olarak Euler Özdeşliği'ni kullanarak $\cos (x)$'i bulalım.

$ e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$
$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin (x)$

Bu iki denklemi taraf tarafa toplayıp $2$ ye böldüğümüzde $\cos (x)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ eşitliğini elde ederiz. Şimdi soruda sorulan ifadeyi eşitlikte yerine koyarak bulalım.

$\cos \left ( i\cdot \ln \left (\pi +\sqrt{\pi^2-1}\right )\right )=\dfrac{e^{-\ln \left (\pi +\sqrt{\pi^2-1}\right )}+e^{\ln \left (\pi +\sqrt{\pi^2-1}\right )}}{2}$ elde edilir.
Gerekli işlemler yapıldığında ifade $\dfrac{\dfrac{1}{\pi +\sqrt{\pi^2-1}}+\pi +\sqrt{\pi^2-1}}{2}$ elde edilir. İlk terim eşleniği ile çarpıp ifadeleri topladığımızda sonucumuz $\pi$ elde edilir.
« Son Düzenleme: Ekim 10, 2019, 09:34:40 ös Gönderen: metonster »

Çevrimdışı samienes06

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 17
  • Karma: +1/-0
Ynt: İntegral Soruları
« Yanıtla #4 : Ağustos 29, 2019, 03:49:23 öö »
5)
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} n\int_{0}^{\frac{1}{n}}\ln (\cos x+1)~dx$  ifadesinde $0\cdot \infty$ belirsizliği bulunmaktadır. Bu belirsizliği $\dfrac{0}{0}$ belirsizliğine çevirelim. Yeni limitimiz $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{\int_{0}^{\frac{1}{n}}\ln (\cos x+1) dx}{\frac{1}{n}}$ olsun. $\dfrac{0}{0}$  belirsizliği bulunduğundan L'Hospital kuralını kullanabiliriz. Pay ve paydanın türevini aldığımızda yukarıda fark edebileceğimiz Leibniz kuralını kullanabileceğimizdir. Limitimiz $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{\frac{-1}{n^2}\cdot \ln (\cos (\frac{1}{n})+1)}{\frac{-1}{n^2}}$ olur. Sadeleştirme yapılıp limit hesaplandığında sonuç $\ln(2)$ olacaktır.
« Son Düzenleme: Ekim 10, 2019, 09:38:53 ös Gönderen: metonster »

Çevrimdışı samienes06

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 17
  • Karma: +1/-0
Ynt: İntegral Soruları
« Yanıtla #5 : Ağustos 29, 2019, 04:21:51 öö »
4)
$\ln x=f(x)+2\ln f(x)$ denkliğinde biraz değişim yaparak istediğimiz hale getirelim. İlk olarak $f(x)=y$ diyelim ve $ f^{-1}(y)=x$ olur. Denklikte $x$'i yerine koyduğumuzda $\ln (f^{-1}(y))=y+2\ln y$ denklemini elde ederiz. İki tarafı da $e$ tabanında aldığımızda $ f^{-1}(y)=e^y\cdot y^2$'i elde ederiz. İntegral sınırlarımız x için $0$ ile $e$ idi. $ f^{-1}(y)$ yerine sırayla $0$ ve $e$ yazdığımızda y değerlerimiz $0$ ve $1$ olur. $y=f(x)$ grafiğini düşünelim. Bu fonksiyon $(0,0)$ ve $(e,1)$ noktalarından geçmektedir. Buradan şu sonucu çıkartabiliriz. Fonksiyonun $x$ ekseni ile oluşturduğunu alan ile $y$ ekseni ile oluşturduğu alanın toplamı $(0,0),(0,1),(e,0),(e,1)$ köşelerine sahip dikdörtgenin alanına yani $e$'ye eşit olmalıdır.  $$\int_{0}^{e} f(x) dx + \int_{0}^{1} f^{-1}(y) dy= e$$
İlk integralin değerini aramaktayız ve ikinci integral ise çözebileceğimiz seviyede basittir. Aradığımız integrale $I$ diyelim ve denkliği yeniden yazalım.

$I=e-\int_{0}^{1} e^y\cdot y^2dy$ ve ikinci integral kısmi integrasyon metodlarıyla çözüldüğünde sonucu $e-2$ bulunacaktır. Buradan da $I=2$ elde edilir.
« Son Düzenleme: Ekim 10, 2019, 09:41:31 ös Gönderen: metonster »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal