Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 5  (Okunma sayısı 529 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 318
  • Karma: 5
Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 5
« : Şubat 08, 2018, 09:59:18 ös »
Azalmayan bir $x_0,x_1,\cdots,x_{2017}$ pozitif tam sayı dizisinde $x_0=1$ ve $x_1,x_2,\ldots,x_{2017}$ altdizisi tam olarak $25$ farklı pozitif tam sayı içeriyor.$$\sum_{i=2}^{2017}x_i(x_i-x_{i-2})\ge623$$olduğunu gösteriniz. Eşitliği sağlayan dizilerin sayısını bulunuz.

(Serhat Doğan)
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı nk6

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 12
  • Karma: 0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2017 Soru 5
« Yanıtla #1 : Şubat 22, 2018, 01:18:45 öö »
İfadenin minimum değerini almasını sağlayan diziye bakalım.

İddia 1: Bu dizi için sözü geçen alt dizideki $25$ pozitif tam sayı $1, 2, \ldots , 25$ tir.

Aksini varsayalım. Sayılar $a_1,\ldots , a_{25}$ olsun.

$a_1>1$ ise $x_1, x_2,\ldots x_{2017}$ yerine $(x_1-1), (x_2-1),\ldots , (x_{2017}-1)$ yazarsak $x_i\cdot (x_i-x_{i-2})$ teriminde $x_i$ azalır, $(x_i-x_{i-2})$ ise azalır veya sabit kalır, $(x_i-x_{i-2})\neq 0$ olan en az bir $i$ olduğundan ifadeye daha küçük bir değer aldıran bir dizi elde ederiz, çelişki.

$a_i>a_{i-1}+1$ olan en küçük $i$ ye bakalım. Benzer şekilde $a_i,\ldots , a_{25}$ e eşit olan sayıları bir eksikleriyle değiştirirsek  ifadeye daha küçük bir değer aldıran bir dizi elde ederiz, çelişki.

Gözlem: Bir sayı dizide ikiden fazla geçiyorsa fazlalıkları atabiliriz.

$a_i=a_{i+1}=\ldots=a_{i+k}=m$ olsun.

$a_{i+2}\cdot (a_{i+2}-a_i)=\ldots=a_{i+k}\cdot (a_{i+k}-a_{k-2})=0$,

$a_{i+k+1}\cdot(a_{i+k+1}-a_{i+k-1})=a_{i+k+1}\cdot(a_{i+k+1}-a_i)$ ve

$a_{i+k+2}\cdot(a_{i+k+2}-a_{i+k})=a_{i+k+2}\cdot(a_{i+k+2}-a_{i+1})$ olduğundan diziden $a_{i+2}, \ldots , a_{i+k}$ yi çıkardığımızda ifade değişmez. (dizi hala şartları sağlar)

Bu da demektir ki elimizde kalan $y_0, \ldots , y_n$ dizisi $1, 2,\ldots , 25$ sayılarının bir veya iki kere geçtiği bir dizidir.

İddia 2: $25$ sayısı dizide tam bir kere geçer, yani sadece $y_n$ terimi $25$ e eşittir.

Aksini varsayalım. Son dört terim $y_{n-3}, 24, 25, 25$ olsun. Bu dizinin yerine $y_{n-3}, 24, 25$ ile biten diziye bakarsak ifade $25$ azalır, yani ifadeye daha küçük bir değer aldıran bir dizi elde ederiz, çelişki.

İddia 3: $1, 2,\ldots , 24$ sayıları dizide iki kez geçer.

Aksini varsayalım. Dizide iki kez geçmeyen ilk sayı $a$ olsun. Dizinin $a$ yı içeren kesiti $a-1, a-1, a, a+1$ olmak üzere bunun yerine $a-1, a-1, a, a, a+1$ i içeren diziye bakarsak ifadeden $(a+1)\cdot ((a+1)-(a-1))=2a+2$ çıkarıp $a\cdot (a-(a-1))+(a+1)\cdot ((a+1)-a)=2a+1$ eklemiş oluruz, yani ifadeye daha küçük bir değer aldıran bir dizi elde ederiz, çelişki.

Dolayısıyla dizimiz $1, 1, 2, 2, \ldots , 24, 24, 25$ olur ve toplam $2+2+3+3+\ldots +24+24+25=623$ olur.

$x_0, x_1, \ldots , x_{2017}$ dizisi ise $1, 2, \ldots , 24$ sayılarını en az iki kere içeren, $25$ sayısını tam bir kere içeren herhangi bir dizidir. Bu dizilerin sayısı ise $b$ sayısının dizide geçme sayısı $u_b\geq 2$ ve $v_b=u_b-2\geq 0$ olmak üzere $v_1+\ldots + v_{24}=2017-2\cdot 24=1969$ denkleminin çözüm sayısıdır, bu da bilindik bir şekilde $\binom{1992}{23}$ olur.
« Son Düzenleme: Şubat 22, 2018, 11:20:10 ös Gönderen: nk6 »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal