Gönderen Konu: cot(CPQ) {çözüldü}  (Okunma sayısı 976 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2687
  • Karma: +17/-0
  • Banana Republic
cot(CPQ) {çözüldü}
« : Mayıs 05, 2017, 11:12:35 ös »
$|AB|=|AC|$, $m(\widehat{BAC})=30^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin $[AB],[AC]$ kenarları üstünden sırasıyla $P,Q$ noktaları alınıyor. $m(\widehat{PCB})=60^\circ$ ve $m(\widehat{QBC})=45^\circ $ olduğuna göre $\cot(\widehat{CPQ})$ değeri nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{3}+1 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{3}-1  \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{5}-1  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{5}+1 $
« Son Düzenleme: Ağustos 16, 2019, 11:22:38 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Bağımlı Üye
  • ***
  • İleti: 179
  • Karma: +3/-0
  • Matematik evreni anlamamızı sağlar.
Ynt: cot(CPQ)
« Yanıtla #1 : Ağustos 12, 2019, 10:28:12 ös »
 hatam var mı acaba çözümde ?

Ardışık sinüs teoremlerinden gelen

$$tan(\theta)=\dfrac{sin(b+c).sinc.(cosa+cos2b)}{sinb.(cosa+cos2c)+cos(b+c).sinc.(cosa+cos2b)}$$

lemması kullanılabilir. 

Sorumuzda $\theta=m(\widehat{CPQ})$ , $a=30^{\circ}$ , $b=45^{\circ}$ , $c=60^{\circ}$ tır.

$$tan\theta=\dfrac{sin(45+60).sin60.(cos30+cos90)}{sin45.(cos30+cos120)+cos105.sin60.(cos30+cos90)}$$

$$\dfrac{sin75.sin^2(60)}{sin45.(cos30+cos120)+cos105.sin^2(60)}$$

$sin45.(cos30+cos120)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=cos75$  , $sin^2(60)=\dfrac{3}{4}$ ve $cos105=-cos75$  bağıntılarından dolayı

$$tan\theta=\dfrac{\frac{3}{4}.sin75}{\frac{1}{4}cos75}=3tan75=3\sqrt{3}+6$$  olarak bulunur.
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2687
  • Karma: +17/-0
  • Banana Republic
Ynt: cot(CPQ)
« Yanıtla #2 : Ağustos 13, 2019, 01:52:09 öö »
Problemi foruma yazmadan kağıt kalemle önce çözmüştüm, sıkıntı yoktu. Şimdi de GSP ile çizip kontrol ettim. Doğru cevap seçeneklerde var. Çözümünüz hatalı olmalı, tekrar inceleyiniz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Squidward

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 48
  • Karma: +1/-0
Ynt: cot(CPQ)
« Yanıtla #3 : Ağustos 13, 2019, 02:09:08 öö »
Ben de şıklardan birini buldum ve hata kullanılan lemma'da gibi duruyor, hesap makinesine eşitlikte yerine koydurduğumda sizinle aynı cevabı buldu ve lemma'yı buluş adımlarını da paylaşır mısınız, sinüs teoremleri yazarak bir şeyler elde etmeye çalıştım fakat çıkaramadım :(
ibc

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Bağımlı Üye
  • ***
  • İleti: 179
  • Karma: +3/-0
  • Matematik evreni anlamamızı sağlar.
Ynt: cot(CPQ)
« Yanıtla #4 : Ağustos 13, 2019, 12:16:23 ös »
Ben de bu lemmayı burada gördüm

Çıkartabilirsem paylaşayım ama uzun bir çözümü var gibi duruyor.

« Son Düzenleme: Ağustos 13, 2019, 01:35:14 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2687
  • Karma: +17/-0
  • Banana Republic
Ynt: cot(CPQ)
« Yanıtla #5 : Ağustos 16, 2019, 01:31:12 öö »
Soruya özgü oluşturulmuş, çok özel durumlara cevap üreten formülleri kullanmaktan kaçınarak bir çözüm verelim. Biraz kaba kuvvet ve sinüs teoremi ile soruyu ezip geçebiliriz :)

Yanıt: $\boxed{A}$

Öncelikle $\sin 15^\circ =\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ve $\cos 15^\circ =\dfrac{\sqrt{6} 4 \sqrt{2}}{4}$ eşitliklerini hatırlatalım. $AQB$ ikizkenar üçgeninde $|AQ|=|QB|=4$ dersek $|AB|=4\sqrt{3}=|AC|$ olur. $|QC|=4\sqrt{3}-4$ bulunur. $ABC$ ikizkenar üçgeninde $\dfrac{|BC|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ olduğundan $|BC|=6\sqrt{2}-2\sqrt{6}$ olur.

$BCP$ üçgeninde sinüs teoremini uygularsak $\dfrac{|BC|}{\sin 45^\circ}=\dfrac{|PC|}{\sin 75^\circ}$ olup $|PC|=2\sqrt{6}$ elde edilir.

Şimdi de $PQC$ üçgeninde sinüs teoremini yazarsak  $\dfrac{|PC|}{\sin (x+15^\circ )}=\dfrac{|QC|}{\sin (x)}$ olur. Sinüs toplam formülünden $(\sin(x) \cos 15^\circ + \cos(x) \sin 15^\circ) \cdot (4\sqrt{3}-4) = \sin(x)\cdot 2 \sqrt{6}$ yazılabilir. $\cos(x)$ ifadesini eşitliğin bir tarafında, $\sin(x)$ ifadesini eşitliğin diğer tarafında tutarak dikkatli bir hesaplama yaparsak

$$ (2\sqrt{2} - \sqrt{6})\cdot \cos(x) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})\cdot \sin(x)$$
olup $\cot(x)= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2} - \sqrt{6}}=\sqrt{3} + 1 $ sonucuna ulaşılır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal