Gönderen Konu: Fonksiyonel denklem  (Okunma sayısı 2859 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Fonksiyonel denklem
« : Nisan 02, 2017, 12:46:47 öö »
(f (x))2=f (2x)+2f (x)-2  ise  f (6)=?

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 330
  • Karma: +7/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #1 : Nisan 02, 2017, 01:21:27 ös »
$f(6)$'yı bulabilmek için $\dfrac{6}{2^n}$ şeklinde bir değerin bilinmesi gerekir
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2854
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #2 : Nisan 02, 2017, 01:48:32 ös »
Ben de verilen fonksiyonel denklemi sağlayan iki sabit fonksiyonu bulayım. $f(x)=c$ dersek $f(2x)=c$ olur. $c^2-3c+2=0$ denkleminden $c=1$ veya $c=2$ dir. $f(x)=1$, $f(x)=2$ sabit fonksiyonları iki özel çözümdür. Tüm çözümler bu iki fonksiyon mudur, bilmiyorum. Ancak $f(6)=1$ veya $f(6)=2$ gibi değerleri alabilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #3 : Nisan 02, 2017, 02:21:52 ös »
 f (1)=3
veriliyor. Yazmayi unutmusum.
« Son Düzenleme: Nisan 02, 2017, 02:30:23 ös Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı muuurat

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 48
  • Karma: +2/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #4 : Nisan 04, 2017, 05:31:33 öö »
$f (x)=2^x+1$
« Son Düzenleme: Nisan 04, 2017, 12:46:53 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #5 : Nisan 04, 2017, 03:28:39 ös »
Çözümünüzü paylaşır mısınız? Yanıtlar tek başına pek bir şey ifade etmiyor.

Çevrimdışı muuurat

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 48
  • Karma: +2/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #6 : Nisan 05, 2017, 02:34:06 öö »
Verilen eşitlik,

f(x+y) = f(x).f(y) - [f(x) + f(y)] + 2  (1)

eşitliğinde

y = x konulmasıyla elde edilir.

f(2x) = [f(x)]^2 - 2.f(x) + 2        (2)

 

(1) eşitliğini sağlayan Y = f(x)  (varsa)

(2) eşitliğini de sağlar.

 

f(1) = 3

f(2) = f(1+1) = 5

f(3) = f(1+2) = 9

f(4) = f(2+2) = 17    [Ya da;  f(4) = f(1+3) = 17 ]

f(5) = f(1+4) = 33

 

f(x) = 2^x + 1


Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2854
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #7 : Nisan 05, 2017, 02:28:23 ös »
muuurat bey açıklamanız için teşekkürler. Ancak (2) fonksiyonel denkleminin çözümleri (1) in çözümlerinin alt kümesidir. Yani (2) nin her çözümü (1) i de sağlar, fakat (1)'i sağlayan çözümler (2) yi sağlamayabilir. Bu bakımdan yaptığınız işlemler (2) nin bir çözümü olan $2^x+1$ için bir sezgi oluşturuyor.

(1) in başka çözümleri var mıdır ve varsa bunlar arasından (2) yi sağlayanlar var mıdır? Yoksa (2) denkleminin çözümü biricik midir? Bunlara da cevap bulmak gerekir.

Ben şahsen şöyle başlamayı tercih etmiştim:


$\begin{array}{llr}
 & f(2x)=f^2(x)-2f(x)+1+1 & \\
\implies &  f(2x)=\left( f(x) - 1\right)^2 +1 & \\
\implies &  f(4x)=\left( f(2x) - 1\right)^2 +1 = \left( f(x) - 1\right)^4 +1 & \\
& \vdots & \\
\implies &  f \left(2^nx \right)= ( f(x) - 1)^{2n} +1 & \\
\end{array}$

Burada $n$ bir pozitif tamsayıdır. Son eşitlikte $x$ yerine $\dfrac{x}{2^n}$ yazılırsa

$f(x)=\left(f \left(\dfrac{x}{2^n} \right) - 1\right)^{2n}+1$ olur. $f(x) \geq 1$ olduğu ve $n$ ne kadar büyük seçilirse seçilsin $f(x)$ in daima $\left(f \left(\dfrac{x}{2^n} \right) - 1\right)^{2n}+1$ ifadesine eşit kalacağını görüyoruz. Bu aşamadan sonra belki $n \to \infty $ için limite bakılarak bir yerlere varılabilir diye düşündüm. Fakat ilerleme sağlayamadım.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #8 : Nisan 05, 2017, 03:33:50 ös »
Lokman Hocam  $f(x)-1=g(x)$   denirse $g(2x)=(g(x))^2$ eşitliğinden  $g(x)=a^x$  ve $f(x)=a^x+1$  ve $f(1)=3$  verisinden $a=2$ bulunup $f(x)=2^x+1$  bulunuyor. Sorunun orijinalinde (Apotemi yayınlarının sorusuymuş)  $f(6)$  sorulduğundan yanıt 65 oluyor. Ancak sizin de gösterdiğiniz gibi bu denklemle aslında 2 nin kuvvetlerinin görüntüleri bulunmuyor mu? Yani evet $f(6)$ değeri  (1) denkleminden bulunur ancak yine sizin işaret ettiğiniz gibi (1) in her çözümü (2) yi sağlamaz. Sonuç olarak bu sorunun hatalı olduğunu düşünüyorum. Bu arada çözüm için Doğan Dönmez Hocama teşekkür ederim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2854
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #9 : Nisan 06, 2017, 01:30:09 öö »
Soruyu buraya da sordum. Alper bey'in dediği gibi $g(x)=f(x)-1$ alınırsa $g(2x)=g(x)^2$ olur denmiş. Bu da bize $f(x)$ yardımıyla $f(2x)$, $f(4x)$, ... vs değerleri bulabileceğimizi söyler. Diğer değerler için hiçbir şey söylemez. $f(1)$ verildi ancak $6$ sayısı, bir $n$ pozitif tamsayısı için $2^n\cdot 1$ biçiminde yazılamaz. Dolayısıyla $f(6)$ nın alabileceği sonsuz çoklukta değer vardır. $f(6)=65$ olması gerekmez.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı muuurat

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 48
  • Karma: +2/-0
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #10 : Nisan 06, 2017, 02:11:58 öö »
Bir örnek bulabilir misiniz? Denediğim tüm parçalanışlar aynı sonucu veriyor.
Bu arada düşünceleriniz çok öğretici. Bu şekilde matematik konuşmalar çok mutlu ediyor.
« Son Düzenleme: Nisan 06, 2017, 02:14:52 öö Gönderen: muuurat »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2854
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Fonksiyonel denklem
« Yanıtla #11 : Nisan 06, 2017, 02:05:43 ös »
$f(x)=g(x)+1$ olsun ve $g$ fonksiyonunu da aşağıdaki gibi tanımlayalım

$g(x)= \left\{\begin{array}{cc} 1, & x= 3\cdot 2^n , n\in \mathbb Z & \mbox{ biçimindeki değerlerde } \\ 2^x , &  & \mbox{ diğer değerlerde} \end{array} \right. $

Bu $g$ fonksiyonunun da $g(2x)=g(x)^2$ özelliğini sağladığına dikkat edelim. Örneğin $g(6)=g(3)^2=1$ dir. Buna göre $f(6)=g(6)+1=2$ dir.

Not: yazım yanlışım varsa bildiriniz, kontrol etmeye vaktim yoktu.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal