Gönderen Konu: Hypatia Olimpiyatları  (Okunma sayısı 2340 defa)

Çevrimdışı kriptoman

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 61
  • Karma: 1
Hypatia Olimpiyatları
« : Nisan 29, 2016, 06:59:08 ös »
Sorular siteden açıklanmış. Büyükler testinde(2.Kategori) gerçek anlamda zor sorular var. Bu soruların çözümlerini yapabilir miyiz?
« Son Düzenleme: Mayıs 28, 2016, 12:28:14 öö Gönderen: kriptoman »

Çevrimdışı kriptoman

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 61
  • Karma: 1
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #1 : Nisan 29, 2016, 07:09:03 ös »
Sınava giren arkadaşlar kaç net yaptıklarınıda yazabilirse karşılaştırma açısından faydalı olur

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #2 : Nisan 29, 2016, 08:25:19 ös »
Kitapçıklar
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #3 : Nisan 29, 2016, 08:46:33 ös »
1. kategori 1 Yanıt:$\boxed{B}$

$p\mid m^3+5$ ve $p\mid m^2+m-3$ koşullarının sağlanması için, $p\mid( m^3+5,m^2+m-3)$ koşulu sağlanmalıdır.

Öklid Algoritması kullanalım,

$p\mid( m^3+5,m^2+m-3)\Rightarrow p\mid(m^2+m-3,m^2-3m+5)$

                        $=$   $p\mid(m^2+m-3,4m-8)\Rightarrow p\mid(4m+2,26)$

Bunu sağlayan $m$ değerlerine bakalım,

$4m-8=\pm1,\pm2,\pm13,\pm26$ olabilir. Bu değerler denenirse , koşulların sadece $p=13$ durumunda sağlandığı görülür.Yani tek asal sayımız $13$ tür.
« Son Düzenleme: Ekim 22, 2016, 08:24:56 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #4 : Nisan 29, 2016, 08:59:19 ös »
1. kategori 7

Yanıt:$\boxed{C}$

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^6<(\sqrt{5}+\sqrt{2})^6+(\sqrt{5}-\sqrt{2})^6$ olduğundan,

Kareleri açarsak, $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^6<(\sqrt{5}+\sqrt{2})^6+(\sqrt{5}-\sqrt{2})^6$

                                                                 $< ((\sqrt{5}+\sqrt{2})^2)^3+((\sqrt{5}-\sqrt{2})^2)^3$

                                                                 $< (7+2\sqrt{10})^3+(7-2\sqrt{10})^3$

iki küp toplamından,

$<(7+2\sqrt{10}+7-2\sqrt{10})((7+2\sqrt{10})^2+(7-2\sqrt{10})^2-(7+2\sqrt{10})(7-2\sqrt{10}))$

$<14.169$

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^6<2366$ bulunur.


« Son Düzenleme: Nisan 29, 2016, 11:30:42 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #5 : Nisan 29, 2016, 09:18:13 ös »
1. kategori $11$

Yanıt:$\boxed{A}$

$k^{3}+k^{2}-k-1=(k+1)(k^2-1)$ olduğunu kullanacağız, ifadeleri düzenleyelim;

$a_{k}=\dfrac{k+1\sqrt{k-1}-k\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k-1}}\Rightarrow \dfrac{k+1}{\sqrt{k}}-\dfrac{k}{\sqrt{k-1}}$ olur.

o Halde,

$a_{2}+a_{3}+\dots+a_{2016}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}-2+\dfrac{4}{\sqrt{3}}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{2015}{\sqrt{2014}}-\dfrac{2014}{\sqrt{2013}}+\dfrac{2016}{\sqrt{2015}}-\dfrac{2015}{\sqrt{2014}}+\dfrac{2017}{\sqrt{2016}}-\dfrac{2016}{\sqrt{2015}} \Rightarrow \dfrac{2017}{\sqrt{2016}}-2$ bulunur.

Şıklara baktığımızda $A$ şıkkındaki $(\sqrt[4]{2016}-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2016}})^2 \Rightarrow \sqrt{2016}+\dfrac{1}{\sqrt{2016}}-2=\dfrac{2017}{\sqrt{2016}}-2$ ifadesine eşit olduğunu görürüz Yani cevap $A$.

« Son Düzenleme: Nisan 29, 2016, 11:30:32 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #6 : Nisan 29, 2016, 09:47:49 ös »
1. kategori $3$

Yanıt:$\boxed{C}$

İfademiz $\begin{align*}\sum_{\text{simetrik}}\dfrac{8-(b+c)}{b+c}=4\Rightarrow 8(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a})-3=4\end{align*}$ buradan istenen ifadenin değeri $\dfrac{7}{8}$ bulunur.
« Son Düzenleme: Ekim 22, 2016, 08:29:08 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #7 : Nisan 29, 2016, 10:09:53 ös »
1. kategori $15$

Yanıt:$\boxed{C}$

$x+\sqrt{5} \in\mathbb{Q}, x^3+8\sqrt{5}\in\mathbb{Q}$ olması için, $x=k-\sqrt{5}$ ($k\in\mathbb{Q}$) formunda olmalıdır. Aksi takdirde , $x+\sqrt{5}$ , ifadesi hiçbir zaman rasyonel olmayacaktır.

$k=1$ için , $x=1-\sqrt{5}$ olur ve $(1-\sqrt{5})^3=16-8\sqrt{5}$ olduğundan her iki ifade de rasyonel olacaktır.

$k=-1$ için, $x=-1-\sqrt{5}$ olur ki yine $ (-1-\sqrt{5})^3=-16-8 \sqrt{5}$ olduğundan her iki ifade de yine rasyonel olacaktır.

Fakat $k<-1$ ve $k>1$ durumlarında $\sqrt{5}$ in katsayısı çok hızlı büyüyeceğinden , ikinci denklemin rasyonel olması mümkün olmayacaktır.
o halde $2$, $x$ değeri her iki ifadeyi de rasyonel yapar.
« Son Düzenleme: Nisan 30, 2016, 01:57:29 öö Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #8 : Nisan 29, 2016, 10:15:23 ös »
1. kategori $17$

Yanıt:$\boxed{C}$

Soru aslında $2^{\frac{p-1}{2}}+3^{\frac{p-1}{2}} \equiv 0 \pmod {25}$ sorusuyla özdeştir.

Euler fonksiyonundan $\varphi(25)=(5^2-5^1)=20$ dir.

O halde en küçük iki $p$ asal sayısı $11$ ve $13$ bulunur. $11+13=24\Rightarrow 4+2=6$ bulunur.
« Son Düzenleme: Ekim 22, 2016, 08:29:31 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #9 : Nisan 29, 2016, 10:57:17 ös »
1. kategori $19$

Yanıt:$\boxed{B}$

Denklemi düzenleyelim, $y^2-xy+x+2y+5\ge k(\sqrt{3x}+\sqrt{y})$

                                      $\Rightarrow  (y+1)^2+(x+3)+2-xy\ge k(\sqrt{3x}+\sqrt{y}) \Rightarrow A.G.O$ dan $(y+1)^2\ge 4y$ ve $x+3\ge 2\sqrt{3x}$  .dir
                                      $=2\sqrt{3x}+y(4-x)\ge k(\sqrt{3x}+\sqrt{y})$

Buradan, $k$ sayısının en büyük değeri $2$ bulunur. Eşitlik durumu

$x=2$ ve $y=1$ durumunda sağlanır.

« Son Düzenleme: Nisan 29, 2016, 11:29:42 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 318
  • Karma: 5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #10 : Nisan 29, 2016, 11:28:52 ös »
Çözümünü yaptığınız sorunun hangi kategoriye ait olduğunubda belirtirseniz iyi olur :)
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #11 : Nisan 30, 2016, 01:50:10 öö »
2. Kategori 3

Yanıt:$\boxed{C}$

Düzenleyelim , $\dfrac{x^2+4y^2+36z^2+9z^2}{xz+yz}$ Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden

$\dfrac{x^2+36z^2}{2}\ge 6xz\Rightarrow \ge 12xz$

$\dfrac{4y^2+9z^2}{2}\ge6yz\Rightarrow \ge 12yz$

o halde denklemin en küçük değeri $ \dfrac{12(xz+yz)}{(xz+yz)}=12$ bulunur.
« Son Düzenleme: Nisan 30, 2016, 11:31:16 öö Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı kriptoman

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 61
  • Karma: 1
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #12 : Mayıs 28, 2016, 12:31:04 öö »
(B kitapçığı )2  . Kategoride 2-12-14-19 sorularının çözümünü yapabilen arkadaşlar paylaşabilir mi?
« Son Düzenleme: Mayıs 28, 2016, 07:35:50 ös Gönderen: kriptoman »

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #13 : Mayıs 28, 2016, 05:13:38 ös »
2. Kategori Soru 2

Yanıt:$\boxed{C}$

Trigonometrik çözelim.

$L$ noktasından $AC$'ye bir dikme indirelim. Bu dikmenin ayağı $P$ olsun.Bu durumda $\triangle ALP$ ve $\triangle PLC$ eş üçgenler olur.Yani $AL=LC$ dir. $\Rightarrow \dfrac{AL}{AB}=\dfrac{CL}{AB}=\dfrac{CL}{CL+BL} \Rightarrow  \dfrac{BL}{CL}=\sin10^{\circ}$ olduğundan $\dfrac{AL}{AB}=\dfrac{1}{1+\sin10^{\circ}}$ olur.

$AL=LC=\alpha $ olsun. kosinüs teoreminden $AC^2=2\alpha^2(1+\sin10^{\circ}) \Rightarrow AC=\dfrac{AL}{2}(\sqrt{1+\sin10^{\circ}}) $, $AP=\dfrac{AC}{2}$ olduğundan , $\dfrac{AL}{AP}=\dfrac{2}{\sqrt{2(1+\sin10^{\circ}}}=\dfrac{2}{1+\sin10^{\circ}}$ elde edilir.

Buradan $\dfrac{AK}{BL}=\dfrac{2}{(1+\sin10^{\circ})}.(1+\sin10^{\circ})=2$ bulunur.(hatam olduysa affola)
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • Geo-Maniac
  • *****
  • İleti: 427
  • Karma: -5
Ynt: Hypatia Olimpiyatları
« Yanıtla #14 : Ekim 22, 2016, 08:40:32 ös »
1. kategori Soru 5

Cevap:$\boxed{A}$

Binom açılımından $\begin{align*}2016^{2015}=\sum_{i=0}^{2015}\dbinom{2015}{i} 2015^{2015-i}\end{align*}$ bulunur. $961=13^2$ olduğundan $i=0,2015$ hariç tüm terimler $961$ e tam bölünecektir. O halde hesaplamamız gereken $2015^2015+1\equiv ? \pmod{961}$ olduğu ki zaten $2015=5.31.13$ olduğundan $2015^{2015}\equiv 0 \pmod{961}$ dir. Cevap $1$ bulunur.
« Son Düzenleme: Ekim 22, 2016, 09:03:40 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal