Gönderen Konu: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 8  (Okunma sayısı 1274 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • G.O Efsane Üye
  • ******
  • İleti: 738
  • Karma: +8/-6
Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 8
« : Mart 14, 2016, 07:22:24 ös »
Düzlemde koordinatları $S = \{0, 1, . . . , 99\}$ kümesinde bulunan noktaların kırmızı ve beyaz renklere, her $ i, j ∈ S$ için $ (i, j),(i+1, j),(i, j+1)$ ve $(i+1, j+1)$ ($99+1 = 0$ kabul edilmektedir) noktalarından en az biri kırmızı olacak şekilde boyanmasına kırmızımsı boyama diyelim. Herhangi bir kırmızı noktası beyaza çevrildiğinde kırmızımsı olma özelliğini kaybeden bir boyamada en fazla kaç kırmızı nokta olabilir?

(Azer Kerimov)
« Son Düzenleme: Mayıs 01, 2016, 03:06:14 ös Gönderen: Eray »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı KereMath

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 67
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 8
« Yanıtla #1 : Temmuz 31, 2016, 03:15:58 ös »
$i + j = 0, 1 (mod 4)$ koşulunu sağlayan $(i, j)$ noktaları kırmızı olup, $i + j = 2, 3 (mod 4)$
koşulunu sağlayan $(i, j)$ noktaları ise beyaz olan boyama açık olarak bir kırmızımsı boyamadır
ve tam olarak $100^2/2 = 5000$ kırmızı nokta içeriyor. $5000$ den fazla kırmızı nokta
içeren bir kırmızımsı boyama olduğunu varsayalım. Bu boyamadaki her kırmızı nokta bir
$(i, j),(i + 1, j),(i, j + 1),(i + 1, j + 1)$ dörtlüsünün tek kırmızı noktasıdır. Bu dört nokta
arasında aralarındaki uzaklık $1$ olan ve farklı renklere boyalı iki nokta çifti bulunuyor. Her
nokta çiftindeki noktaları siyah bir doğru parçasiyla birleştirelim. Bu işlemi her kırmızı
nokta için yaparsak tam olarak $5001·2 = 10002$ siyah doğru parçası elde ederiz. Varsayıma
göre beyaz nokta sayısı 5000 den az olduğundan bir $(l, m)$ beyaz noktasından en az üç
siyah doğru parçası çıkıyor. Genelliği bozmadan bu siyah doğru parçalarının $(l, m)$ noktasını
$(l−1, m),(l+1, m)$ ve $(l, m−1)$ kırmızı noktaları ile birleştirdiğini varsayalım. Fakat
$(l − 1, m)$ ve $(l + 1, m)$ noktaları kırmızı olduğundan $(l, m)$ beyaz noktası ve $(l, m − 1)$
kırmızı noktası arasında siyah doğru parçası olamaz! Demek ki $5000$ den fazla kırmızı
nokta içeren bir kırmızımsı boyama yoktur. İspat tamamlandı.
Kerem Recep Gür

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal