Gönderen Konu: EŞİTSİZLİK 153  (Okunma sayısı 1250 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
EŞİTSİZLİK 153
« : Şubat 23, 2016, 07:49:34 ös »
$ab+bc+ca \ge a+b+c$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{ab}{a^2+2b}+\dfrac{bc}{b^2+2c}+\dfrac{ca}{c^2+2a} \le \left(\frac{a+b+c}{3} \right)^2$$
olduğunu gösteriniz.
(Mehmet Berke İşler)
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Ynt: EŞİTSİZLİK 153
« Yanıtla #1 : Mayıs 07, 2016, 01:01:57 ös »
$(a+b+c)^2\ge 3(ab+ac+bc)$ eşitsizliğinden $ab+ac+bc\ge 3$ bulunur.

İfade $\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{ab}{a^2+2b}\le 1\end{align*}$ şekline döner.

Diğer taraftan;

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{2ab+a^3-a^3}{a^2+2b}\le 2 \Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+2b}\ge 1\Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+2b}=\sum_{cyc}\dfrac{a^4}{a^3+2ab}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^3+b^3+c^3+2(ab+ac+bc))}\ge \dfrac{9}{9}=1 \square\end{align*}$ Ve ispat biter.

Soruya ilk baktığımda Jensen Aklıma gelmişti fakat bir türlü bulamadım , Jensen den çözüm bulan paylaşabilir mi ?
« Son Düzenleme: Mayıs 07, 2016, 01:10:30 ös Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 335
  • Karma: +7/-0
Ynt: EŞİTSİZLİK 153
« Yanıtla #2 : Mayıs 07, 2016, 04:12:55 ös »
$(a+b+c)^2\ge 3(ab+ac+bc)$ eşitsizliğinden $ab+ac+bc\ge 3$ bulunur.

İfade $\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{ab}{a^2+2b}\le 1\end{align*}$ şekline döner.

$ab+ac+bc\ge3$ değil, $a+b+c\ge3$ olmalı.


Diğer taraftan;

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{2ab+a^3-a^3}{a^2+2b}\le 2 \Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+2b}\ge 1\end{align*}$

$\sum\dfrac{2ab+a^3-a^3}{a^2+2b}\le 2$ eşitsizliği, $\sum\dfrac{a^3}{a^2+2b}+2\ge a+b+c$ eşitsizliğine denktir. Ancak $a+b+c\ge3$ olduğundan, son eşitsizlik için $\sum\dfrac{a^3}{a^2+2b}\ge1$ olduğunu ispatlamak yeterli değildir.
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Ynt: EŞİTSİZLİK 153
« Yanıtla #3 : Mayıs 07, 2016, 04:46:25 ös »
Yanlış anlamadıysam , $\sum\dfrac{a^3}{a^2+2b}+2\ge a+b+c$ eşitsizliğinin ispatlanması gerektiğini söylüyorsunuz.$a\ge b\ge c$ kabul edip, Düzenlersek,

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{a^2+2b-ab}{a^2+2b}\ge 0 \Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{(a-2)(a+2-b)+4}{a^2+2b}\ge 0\end{align*}$ aşikar çözüm .

veya Tüm terimleri tek tarafta toplayıp tamkare yaparak sıfırdan büyük olabileceğini görebiliriz. Yanlış mı anladım ?
Sıradan bir matematikçi...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal