Gönderen Konu: Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği  (Okunma sayısı 3852 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2808
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği
« : Eylül 17, 2014, 12:08:25 öö »
$f$ ve $g$, $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde sürekli iki fonksiyon olsun. Bu durumda
 
$ \left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt$

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlik Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği olarak bilinir.

İspat: Her $x$ gerçel sayısı için $ 0 \leq (xf(t)+g(t))^2 $ dir. Her iki tarafın $[a,b]$ aralığı üzerinden integrali alınırsa

$0 \leq \int\limits_{a}^{b}(xf(t)+g(t))^2 dt = x^2\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt + 2x\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt + \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt  =Ax^2+Bx+C$ diyelim. Burada

$A=\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt$, $B=2\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt$, $C=\int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $ dir.

Her $x$ gerçel sayısı için $0 \leq Ax^2+Bx+C \Longleftrightarrow \Delta = B^2 - 4AC \leq 0$ dır. Burada $A,B,C$ yerine tekrar integral eşitliklerini yazarsak ispat tamamlanır.

Ayrıca C-S İntegral eşitsizliği $\mathbb R^n$ nin bir alt bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonlar için yazılrsa, çok katlı integrallerde de geçerli olduğu görülebilir. Bunun ispatı da, yukarıda verdiğimiz gibi yapılır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2808
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Ynt: Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği
« Yanıtla #1 : Eylül 17, 2014, 12:39:23 öö »
C-S integral eşitsizliğini kullanarak birçok eşitsizlik üretebiliriz:

Uygulama 1: $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=x$ fonksiyonlarını alalım. $0<a \leq b$ için bu fonksiyonlar $[a,b]$ üzerinde süreklidir. C-S integral eşitsizliğini uygularsak $ \left(\int\limits_{a}^{b}dx \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}\dfrac{1}{x^2}dx \int\limits_{a}^{b}x^2dx$ olup buradan

$(b-a)^2 \leq \left(  \dfrac1a - \dfrac1b \right) \cdot \left(  \dfrac{b^3-a^3}{3} \right) $ eşitsizliği elde edilir. Alıştırma olarak, bu eşitsizliği temel eşitsizlik yöntemleriyle ispatlamayı deneyebilirsiniz.

Uygulama 2:$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt {x}}$, $g(x)=\sqrt {x}$ fonksiyonlarını alalım. $0<a \leq b$ için bu fonksiyonlar $[a,b]$ üzerinde süreklidir. C-S integral eşitsizliğini uygularsak $ \left(\int\limits_{a}^{b}dx \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}\dfrac{1}{x}dx \int\limits_{a}^{b}xdx$ olup buradan

$(b-a)^2 \leq  \left(\ln{\dfrac {b}{a}}\right) \cdot \left(  \dfrac{b^2-a^2}{2} \right) $ eşitsizliği elde edilir. Bu uygulamadaki eşitsizliğimiz logaritma içerdiği için temel yöntemlerle ispatlamayı denersek, önceki uygulamaya göre daha zor bir problem olarak karşımıza çıkacaktır.

Siz de $f$ ve $g$ fonksiyonlarını değiştirerek çok farklı eşitsizliklere ulaşabilirsiniz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal