Gönderen Konu: Pozitif Bölen Seçme  (Okunma sayısı 2002 defa)

Çevrimdışı Egemen

  • G.O Bağımlı Üye
  • ***
  • İleti: 137
  • Karma: 0
Pozitif Bölen Seçme
« : Eylül 13, 2014, 08:08:46 ös »
$2250^{20}$ sayısının pozitif bölenleri içerisinden biri diğerini bölmeyecek şekilde en fazla kaç tane bölen seçilebilir?
« Son Düzenleme: Eylül 13, 2014, 09:47:54 ös Gönderen: Egemen »

Çevrimdışı taftazani44

  • G.O Bağımlı Üye
  • ***
  • İleti: 187
  • Karma: 1
Ynt: Pozitif Bölen Seçme
« Yanıtla #1 : Aralık 15, 2015, 05:24:59 ös »
Soruyu anlayamadım.
Asallar alınır biri diğerini bölmez.
Acaba alınacak eleman sayısı mı verilmeli
n.k

Çevrimdışı Alimmm78

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 52
  • Karma: 3
Ynt: Pozitif Bölen Seçme
« Yanıtla #2 : Aralık 27, 2015, 09:57:21 öö »
Soruyu anlayamadım.
Asallar alınır biri diğerini bölmez.
Acaba alınacak eleman sayısı mı verilmeli

$2250^{20} = (5^{3}.3^{2}.2)^{20}$

5, 3 ve 2 yi alinca 3 tane oluyor ve soru en fazla demis baska sekillerde olabilir mesela


216 icin
$2^{3}.3^{3}$

$3^{3}$
$3^{2}.2^{1}$
$3^{1}.2^{2}$
$2^{3}$

seklinde 4 tane diye dusundum bu dogru bir mantik mi?
216 icin cevap kac oluyor?
« Son Düzenleme: Aralık 27, 2015, 10:04:12 öö Gönderen: Alimmm78 »

Çevrimdışı Alimmm78

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 52
  • Karma: 3
Ynt: Pozitif Bölen Seçme
« Yanıtla #3 : Aralık 03, 2016, 10:50:33 ös »
çözüm var mı?

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 318
  • Karma: 5
Ynt: Pozitif Bölen Seçme
« Yanıtla #4 : Aralık 06, 2016, 02:48:51 ös »
$2250^{20}=2^{20}\cdot3^{40}\cdot5^{60}$

Bu sayının bölenleri $0\le a\le20, 0\le b\le40, 0\le c\le60$ olmak üzere $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c$ formundadır.

Bilindiği üzere $2^{a_1}\cdot 3^{b_1}\cdot 5^{c_1}$ sayısının $2^{a_2}\cdot 3^{b_2}\cdot 5^{c_2}$ sayısını bölmesi için gerek ve yeter şart $a_1\le a_2, b_1\le b_2, c_1\le c_2$ olmasıdır.

$2250^{20}$ sayısının bölenleri olan $2^a\cdot3^b\cdot5^c$ sayılarında $(a,b)$ ikilisi $21\cdot41$ farklı değer alabilir.
O halde $21\cdot41+1$ farklı bölen alırsak, güvercin yuvası ilkesi gereği $(a,b)$ ikilisi aynı olan iki bölen almayı garantilemiş oluruz. Bu iki bölen $d_1=2^a\cdot3^b\cdot5^{c_1}$ ve $d_2=2^a\cdot3^b\cdot5^{c_2}$ olsun. Eğer $c_1\le c_2$ ise $d_1\mid d_2$ olur, $c_2\le c_1$ ise de $d_2\mid d_1$ olur.

Yani $21.41+1$ bölen aldığımızda biri diğerini bölen ikisi her halükarda bulunmakta.

Şimdi $21.41$ bölenin, biri diğerini bölecek şekilde ikisi bulunmayacak şekilde alınabileceğini gösterelim.

$0\le a\le20, 0\le b\le40$ olacak şekilde $2^a\cdot3^b\cdot5^{60-a-b}$ sayılarını alalım.
Bu sayılar $2250^{20}$ sayısını böler.
Ayrıca biri diğerini bölmez, çünkü $d_1=2^{a_1}\cdot3^{b_1}\cdot5^{60-a_1-b_1}, d_2=2^{a_2}\cdot3^{b_2}\cdot5^{60-a_2-b_2}$ olmak üzere $d_1\mid d_2$ olsaydı $a_1\le a_2, b_1\le b_2, 60-a_1-b_1\le 60-a_2-b_2$ olması gerekirdi.
İlk iki eşitsizlik gereği $60-a_2-b_2\le60-a_1-b_1$ olması da gerektiğinden, $60-a_1-b_1=60-a_2-b_2\Longrightarrow a_1+b_1=a_2+b_2\Longrightarrow a_1=a_2, b_1=b_2\Longrightarrow d_1=d_2$ olur.
Yani gerçekten farklı iki bölen için biri diğerini bölemez.

O halde yanıt: $\boxed{21\cdot41}$
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal