Üçgen içerisinde P noktası, Model 2.1

[geo]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle ACP = 2\angle ABP = 2t$ ve $\angle PBC = \angle PCB = 30^\circ - 2t$ olacak şekilde $P$ noktası alınıyor. $\angle BAP = 30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Bu soru, meşhur $10-10-10-20$ sorusunun genellenmiş hali oluyor. Bu soru, burada Model 2.1 olarak belirtilen soru ailesine ait.

En klasik yöntem ile bir çözüm verelim: $P$ yi bir üçgenin çevrel merkezi haline getirme.

$[CA$ üzerinde $PC=PD$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $PD=PC=PB$ olduğu için $P$, $(BCD)$ nin merkezidir.
$\angle BPD = 2\angle DCB = 60^\circ$ ve $\triangle DPB$ eşkenardır.
$\angle DBA = 60^\circ - t = \angle DAB$ olduğu için $BD=DA=DP$ dir.
$\triangle PDA$ de $\angle PDA = 2t$ olduğu için $\angle DAP = 90^\circ - t$ ve $\angle BAP = 30^\circ$ dir.

[geo]

$BC$ nin orta dikmesi $AC$ yi $D$ de kessin.
$\angle DBC = \angle DCB = 30^\circ$, $\angle ABP = \angle DBA = t$ ve $\angle PDC = \angle BDP = 60^\circ$ dir.
$\triangle BDP$ de $BA$ bir iç açıortay, $DA$ bir dış açıortay olduğu için $A$ dış merkezdir. Yani $PA$ da bir dış açıortaydır.
Basit açı hesaplarıyla, ya da açıortaylarla alakalı $\angle BAP = \dfrac {\angle BDP}{2} = 30^\circ$ bağıntısı ile cevabı bulabiliriz.

[geo]

$\angle BAP = \alpha$ olsun.

Ceva Teoreminin Trigonometrik Halini uygulayıp gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda

$\begin{array}{lcl}
\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ + t - \alpha)} &=& \dfrac{\sin t}{\sin 2t} \\
&=& \dfrac{\sin t }{2\sin t \cos t}\\
&=& \dfrac{1}{2\cos t}\\
&=& \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin (90^\circ + t)}\\
&=& \dfrac{\sin 30^\circ}{\sin (120^\circ + t - 30^\circ)}\\
&\Rightarrow& \alpha = 30^\circ. \blacksquare
\end{array}$