Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 1  (Okunma sayısı 995 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ******
  • İleti: 1381
  • Karma: +9/-2
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 1
« : Haziran 05, 2014, 11:13:54 ös »
$1 < a < b < c$ olmak üzere, $abc-1$ tam sayısının $(a-1)(b-1)(c-1)$ ile bölünmesini sağlayan tüm $a$, $b$, $c$ tam sayılarını bulunuz.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Bağımlı Üye
  • ***
  • İleti: 123
  • Karma: +0/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 1
« Yanıtla #1 : Temmuz 08, 2019, 03:05:48 ös »
denklemde bir dönüşüm yaparak başlayalım. $a-1=x$ ,$b-1=y$ ,$c-1=z$, $xyz\mid (x+1).(y+1).(z+1)-1$, $x<y<z$ ve $x,y,z\in Z^+$ olur.

$xyz\mid (xy+x+y+1).(z+1)-1$

$xyz\mid xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1-1$

$xyz\mid xy+xz+yz++x+y+z$ elde edilir. Buradan

$\frac{xy+xz+yz+x+y+z}{xyz}\in Z^+$ elde edilir. İfadeyi düzenlersek $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}$  olur. $x<y<z$ olduğundan

 $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}>\frac{1}{z}>\frac{1}{xy}>\frac{1}{xz}>\frac{1}{yz}$ olur. Bu da bize $x$ yerine değer seçerek  İfadenin maksimum değerini bulma şansı verir. yani seçebileceğimiz en küçük üçlüyü seçerek işe koyulalım.

$(x,y,z)=(1,2,3)$ ise $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ olur. Bu ise $2+\frac{5}{6}$ yani  ifadenin $3$ ten kesinlikle küçük olacağını söyler.

$(x,y,z)=(2,3,4)$ ise $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{35}{24}<2$ olur. Yani $x=2$ için ifadenin değeri $1$ dir.

$x\ge3$ için ise bu ifade en yüksek değerini $(3,4,5)$ için alır.

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{15}=\frac{59}{60}<1$   olur. bu da $x\ge2$  için çözüm olmadığını söyler.  Dolayısıyla $x=1$ için ifade $1$ veya $2$  olabildiğinden ve $x=2$ için ifadenin değeri $1$ olduğundan $3$ farklı durumda incelemek yeterlidir.

$1)$ $x=1$ için ifadenin değeri $1$ ise

$2y+2z+1+yz=yz$ 

$2y+2z+1=0$ olur. ki $2y+2z>0$ olduğundan doalyı mümkün değildir.

$2)$ $x=1$ için ifadenin değeri $2$ ise

$2y+2z+1=yz$ 

$2z+1=y.(z-2)$

$y=\frac{2z+1}{z-2}$

$\frac{2z+1+4-2z}{z-2}\in Z$ yani $z-2\mid 5$ olur.  $z>2$ olduğundan dolayı  $z\in \{ 3,7 \}$ olur.

$z=3$ ise $y=7$ olur. $z>y$ koşulu sağlanmadığından dolayı çözümü yoktur.

$z=7$ ise $y=3$ olur.  bu bir çözümdür. $(x,y,z)=(1,3,7)$ olduğundan $(a,b,c)=(2,4,8)$

$3)$ $x=2$ için ifadenin değeri 1 ise

$3z+3y+2+yz=2yz$

$3y+3z+2=yz$

$3z+2=y.(z-3)$

$\frac{3z+2}{z-3}\in Z$

$\frac{3z+2+9-3z}{z-3}\in Z$

 $z>2$ olduğundan ve $z\not\equiv 3$ olduğu için $z-3>0$ olmalıdır.

$\frac{11}{z-3}\in Z^+$ ve $Z\in \{4,14\}$ olmalıdır.

$z=4$ ise $y=14$ olur bu $z>y$ ile çelişir.

$z=14$ ise $y=4$ olur bu durumda $(x,y,z)=(2,4,14)$ bir çözümdür ve $(a,b,c)=(3,5,15)$ olarak bulunur.

bu bölme işlemini sağlayan üçlüler $(2,4,8)$ ve $(3,5,15)$  olmak üzere $2$ tanedir.
« Son Düzenleme: Temmuz 08, 2019, 03:28:21 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal