Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 4  (Okunma sayısı 1259 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1689
  • Karma: +7/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 4
« : Ekim 27, 2013, 05:11:58 ös »
Düzlemde, $C$ bir çember; $L$, $C$ çemberine teğet olan bir doğru ve $M$ ise $L$ doğrusu üstünde bir nokta olsun. Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm $P$ noktalarının geometrik yerinin bulunuz:
 
   $L$ doğrusu üstünde $Q$ ve $R$ gibi öyle iki nokta vardır ki, $M$, $QR$ nin orta noktası ve $C$ de $PQR$ üçgeninin iç çemberi olur.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1689
  • Karma: +7/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 4
« Yanıtla #1 : Ekim 29, 2013, 07:34:42 ös »
İddia: $ABC$ üçgeninde $I$ merkezli iç teğet çember $BC$ kenarına $D$ de değiyor. $DI$ iç teğet çemberi ikinci kez $E$ de kesiyor. $AE$, $BC$ kenarını $D'$ kessin. $BD'= CD$ dir.

İspat:
$AB>AC$ ve $AH$ yükseklik olsun. $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $u$ yarıçevre, $r$ iç yarıçap, $h$ da $a$ ya ait yükseklik olsun.
$DC=u-c$, $HC=\dfrac{b^2-c^2 + a^2}{2a}$, $DH=DC - HC$ $= \dfrac{2ua - 2ac -b^2+ c^2 - a^2}{2a}$ $= \dfrac{c^2 - b^2 + ab - ac}{2a}$ $= \dfrac{(c-b)(b+c-a)}{2a}$ $=\dfrac{(c-b)\cdot 2(u-a)}{2a}$ $= \dfrac{(c-b)(u-a)}{a} $
Üçgende alandan $a\cdot h = 2u\cdot r \Rightarrow h = \dfrac{2ur}a$.
$ED \parallel AH$ olduğu için $\dfrac{DD'}{DH} = \dfrac{ED}{AH-ED} = \dfrac{2 \cdot r}{h-2r}$ $\Rightarrow DD' = DH \cdot \dfrac{2r}{h-2r}$ $= \dfrac{(c-b)(u-a)}{a} \dfrac{2r}{\dfrac{2ur}a - 2r}$ $= \dfrac{(c-b)(u-a)}{a} \dfrac{a}{u-a}$ $=c-b$
$BD'=BC - DD' - CD = a - (c-b) - (u-c) = u-c = CD$ $\blacksquare$

Soruya dönelim, çember $L$ ye $D$ de dokunsun. $DE$, $C$ çemberinin bir çapı olsun. İddia gereği, $PE$ $L$ yi $QD=RD'$ olacak şekilde $D'$ noktasında keser. Bu durumda $M$, $DD'$ nün orta noktasıdır. $M$ sabit, $D$ sabit olduğu için $D'$ de sabittir. $E$ noktası da sabit olduğu için, $P$ noktaları $D'E$ doğrusu üzerindedir. Sınırları da düşünürsek $P$ noktalarının geometrik yeri, $[D'E$ ışınının $[D'E]$ hariç kısmıdır.


« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 03:39:36 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal