Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1976 Soru 1  (Okunma sayısı 1299 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1700
  • Karma: +8/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1976 Soru 1
« : Kasım 02, 2013, 05:30:54 ös »
Düzlemde, alanı $32$ olan bir dışbükey dörtgenin karşılıklı iki kenarı ile bir köşegeninin uzunlukları toplamı $16$ dır. Diğer köşegenin uzunluğunun alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1700
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1976 Soru 1
« Yanıtla #1 : Kasım 02, 2013, 07:56:42 ös »
$AB=a$, $BD=e$, $CD=c$ ve $a+c+e = 16$ olsun. $AO \geq GO$ dan $\dfrac{(a+c) + e}2 \geq \sqrt{e(a+c)} \Rightarrow 64 \geq e(a+c)$.
$[ABC] \leq \frac 12 \cdot a \cdot e$ ve $[BCD] \leq \frac 12 \cdot c \cdot e$ olacağı için $32 = [ABCD] \leq \frac 12 \cdot e \cdot (a+c) \leq 32$ olacaktır.
Eşitsizlikte, eşitliğin sağlanması için $e=a+c = 8$ ve $\angle ABD = \angle BDC = 90^\circ$ olması gerekir.
$A$ dan geçen $BD$ ye paralel olan doğru ile $CD$ doğrusu $F$ de kesişsin. Ayrıca, $AB\parallel CD$ olduğu için $AF=e=8$ ve $DF=a$ dır. Bu durumda, $\triangle AFC$ dik üçgeninde, $AF=FC=8$  olduğu için $AC$ hipotenüsü $8\sqrt 2$ dir. $\blacksquare$
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2014, 03:35:00 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal