Tübitak Lise Takım Seçme 2008 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{B})>m(\widehat{C})$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısının iç ve dış açıortayları $BC$ yi sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[EA$ ışını üstünde, $A$ ya göre $E$ ile farklı tarafta bir $P$ noktası alınıyor. $DP$ ve $AC$ doğruları $M$ noktasında, $ME$ ile $AD$ ise, $Q$ noktasında kesişiyor. $P$ noktası değişirken elde edilen $PQ$ doğrularının hepsinin bir noktada kesiştiğini gösteriniz.

[geo]

İç ve dış açıortay teoremlerinden
$$\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow \dfrac{EC}{DC}=\dfrac{EB}{BD}.$$

$\triangle PED$ de $A,M,C$ noktaları için Menelaus'tan
$$\dfrac{PA}{AE}\cdot \dfrac{EC}{CD}\cdot \dfrac{DM}{MP}=1.$$
$\dfrac{EC}{DC}=\dfrac{EB}{BD}$ eşitliğini yerine yazarsak
$$\dfrac{PA}{AE}\cdot \dfrac{EB}{BD}\cdot \dfrac{DM}{MP}=1$$
elde edilir. Bu da, Ceva Teoreminin tersinden dolayı, $PB,DA,EM$ doğrularının tek noktada kesiştiği anlamına gelir. Yani tüm $PQ$ doğruları $B$ den geçer.