Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 6  (Okunma sayısı 1363 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2808
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 6
« : Ağustos 08, 2013, 04:59:46 ös »
$a^{2}+b^{2}+3$ sayısının $a\cdot b$ ile bölünebilmesini sağlayan tüm $(a,b)$ tam sayı ikililerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Ekim 17, 2013, 02:03:13 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 229
  • Karma: +3/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 6
« Yanıtla #1 : Ağustos 18, 2019, 01:21:17 ös »
İfadenin tam sayı olması istendiğinden

$$a^2+b^2+3=abc$$  $c\in \mathbb Z$  olmalıdır.

Bu soruyu çözerken $c$ herhangi bir tam sayı olduğu için genelliği bozmadan pozitif tam sayılarda çözümleri bulursak geri kalan çözümleri bulmak kolaydır.

Bu soruyu $\dfrac{a^2+b^2+3}{ab}\in \mathbb Z$ olarak düşünebiliriz.  $a=b$  olduğunu varsayarsak $2+\dfrac{3}{a^2}$  gelir ve $a=1$ olmalıdır. $a=b=1$ yerine koyulursa $c=5$  elde edilir.

Genelliği bozmadan $a>b$ kabul edebiliriz.

$$a^2-abc+(b^2+3)=0$$ denkleminin diğer çözümü $x$  olsun. 

$$a+x=bc$$ $$ax=b^2+3$$

elde edilir. Buradan $x$  in de tam sayı olacağı görülür.

Genelliği bozmadan $x\ge a$  olsun. O halde

$$a^2+3>b^2+3=ax\ge a^2$$ $a\ge3$  için
$$a^2>b^2\ge a^2-3 >(a-1)^2$$ olduğundan dolayı çözüm yoktur. 

$a=2$ için $a>b$ kabulünden dolayı olası tek çözüm $(2,1)$ dir ki sağlar $c=4$  bulunur.  Geri kalan çözümler ise bunların işaretlerinin ve $a$ ile $b$ nin değerlerinin yer değiştirmeleriyle gelecektir.

$(1,1)$  ikilisinden yararlanarak $(1,1,5)$ $(-1,1,-5)$  ,$(1,-1,-5)$ , $(-1,-1,5)$ çözümü gelir.

$(2,1)$  ikilisinden yararlanarak $(2,1,4)$ , $(1,2,4)$ , $(2,-1,-4)$ , $(-1,2,-4)$  , $(-2,1,-4)$ , $(1,-2,-4)$   çözümlerini söyleriz. Bu denklemin $10$  çözümü vardır.

« Son Düzenleme: Eylül 14, 2019, 05:46:59 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal