Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 6  (Okunma sayısı 1799 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2655
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 6
« : Ağustos 06, 2013, 04:36:09 öö »
$n\times n$ bir satranç tahtasındaki karelerin köşelerinden bazıları, bu satranç tahtasının karelerinden oluşan her $k\times k$ ( $1\le k\le n$) karenin en az bir kenarının üstünde boyanmış bir nokta olacak biçimde boyanıyor. Eğer bu koşulu sağlamak için boyanması gereken en az nokta sayısını $\ell(n)$ ile gösterirsek, $$\lim _{n\to \infty }\dfrac{\ell(n)}{n^{2}}=\dfrac{2}{7}$$ olduğunu kanıtlayınız.
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 01:41:15 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1688
  • Karma: 5
Ynt: 6 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 17, 2013, 10:41:48 öö »
Şekilde görülen boyanmış parçayı kaydırarak boyama işlemini sürdürürsek $n=7k+6$, $k\ge 0$, için  $$l\left(n\right)\le \dfrac{2}{7}{\left(n+1\right)}^2$$


olduğunu görürüz. Eğer $n=7k+s$, $0\le s\ <6$ ise, $n=7\left(k-1\right)+6+\left(s+1\right)$ ve $m=7\left(k-1\right)+6\ $yazalım. Bu takdirde, $n\times n$ karenin içinde $m\times m$ karenin dışında kalan tüm noktaların boyandığı varsayılsa dahi
$$l\left(n\right)\le l\left(m\right)+\left(s+1\right)n+\left(s+1\right)m<l\left(m\right)+12n, $$  $$l\left(n\right)<\dfrac{2}{7}{\left(m+1\right)}^2+\ 12n<\dfrac{2}{7}{\left(n+1\right)}^2+12n$$ olduğu görülür. Dolayısıyla her $n\ge \ 6$ için, $$\dfrac{l\left(n\right)}{n^2}\le \dfrac{2}{7}\dfrac{{\left(n+1\right)}^2}{n^2}+\dfrac{12}{n} \tag{*}$$ dir.

Şimdi, bir kare alalım. (Bak: Şekil 1). Bir $1\times 1$ karenin kenarları üzerindeki boyanmış nokta sayısı $t$ olsun. Problemin koşulu gereği $t\ge 1$ dir. Her $1\times 1$ kare için $\dfrac{1}{t}$ sayısına o karenin ağırlığı diyelim. Boyanmış bir nokta alalım. Bu nokta ile kesişen tüm $1\times 1$ karelerin ağırlıklar toplamına o noktanın puanı diyelim. Bu takdirde, boyanmış her bir noktanın puanı, nokta tam köşede ise (Bak: Şekil 2), $\le 1$; nokta bir kenar üzerinde ise (Bak: Şekil 3), $\le 2$ ve eğer nokta karenin içinde ise (Bak: Şekil 4), o noktanın puanı $\le \dfrac{7}{2}$ dir. (Son durumda, eğer dört kareden üçünün ağırlığı $1$ ise, $2\times 2$ karenin kenarında en az bir boyanmış nokta bulunacağından, dördüncü karenin puanı $\le 3\cdot 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$ eşitsizliğini sağlamalıdır. )


Diğer yandan, her biri $1\times 1$ karenin boyanmış noktaların puanına yaptığı katkıların toplamı $1$ dir. Çünkü, bir $1\times 1$ kare üzerinde $t$ adet boyanmış nokta varsa, karenin puanlara yapmış olduğu katkı $$\dfrac{1}{t}+\dots +\dfrac{1}{t}=t\cdot \dfrac{1}{t}=1$$ olur. Demek ki, boyanmış noktaların puan toplamı $n^2$dir.
Şimdi $l(n)$ tane boyanmış nokta ve her boyanmış noktanın puanı $\le \dfrac{7}{2}$ olduğuna göre, $$n^2<\dfrac{7}{2}l\left(n\right)\Rightarrow \dfrac{l\left(n\right)}{n^2}\ge \dfrac{2}{7} \tag{**}$$ olduğunu görürüz.  $(*)$ ile $(**)$ birleştirilirse, $$\dfrac{2}{7}\le \dfrac{l\left(n\right)}{n^2}\le \dfrac{2}{7}\ \dfrac{{\left(n+1\right)}^2}{n^2}+\dfrac{12}{n}$$ elde edilir ve Sandviç teoremi ile $${\mathop{\lim }_{n\to \infty } \dfrac{l\left(n\right)}{n^2}=\dfrac{2}{7}\ }$$ olduğu görülür.

Kaynak:
Matematik Dünyası 1999-III
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 01:41:24 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal