Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 4  (Okunma sayısı 1288 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2655
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Tübitak Lise 2. Aşama 1998 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 04:35:34 öö »
$x^{3}+3367=2^{n}$ eşitliğini sağlayan tüm $x$ ve $n$ pozitif tamsayılarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 01:40:33 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1688
  • Karma: 5
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 17, 2013, 10:07:15 öö »
$3367$ nin asal çarpanlara ayrılışı $3367=7\cdot 13\cdot 37$ dir. Eğer $x^3\equiv 2^n\ \ (mod\ 7)$ ise, uygun bir $m\in N$ için $n=3m$ olur. Böylece, $3367=2^n-x^3=\underbrace{\left(2^m-x\right)}_{a}\underbrace{\left(2^{2m}+2^mx+x^2\right)}_{b}$, $a^2<b$ ve $ab=7\cdot \ 13\cdot 37$ olduğu için aşağıdakilerden biri doğrudur:
  • $a=1$, $b=7\cdot 13\cdot 37$, 
  • $a=7$, $b=13\cdot 37$,
  • $a=13$, $b=7\cdot 37$,
$b-a^2=3\cdot 2^m\cdot x$ , $2^m\ge \sqrt[3]{3367}>14$ olduğu için

$(i)$ $b-a^2=3\cdot 2\cdot 561$ ve
$(iii)$  $b-a^2=90=2\cdot 3\cdot 15$ geçerli olamaz; ancak $(ii)$ durumu sözkonusu olabilir. Bu durumda $b-a^2=481-49=432=3\cdot 2^4\cdot 3^2$ olduğunda $n=12$, $x=9$ olmalı. Gerçekten $9^3+3367=2^{12}\ $'dir.

Kaynak:
Matematik Dünyası 1999-III
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 01:40:38 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal