Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 5  (Okunma sayısı 2012 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2852
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 5
« : Ağustos 06, 2013, 04:26:38 öö »
$s\ge 1$ ve $t\ge 1$ olmak üzere $$t^{2}+1=s(s+1)$$ eşitliğini sağlayan tüm $(s,t)$ sıralı tam sayı ikililerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Eylül 01, 2013, 12:51:16 ös Gönderen: bosbeles »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1699
  • Karma: +8/-0
Ynt: 5 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 17, 2013, 12:01:23 ös »
$$s^2 + s - (t^2 + 1) = 0 \Rightarrow \Delta = 1+4(t^2+1) = T^2$$ $$\Rightarrow T^2 - 4t^2 = 5 \Rightarrow (T-2t)(T+2t)=5$$ $s$ ve $t$ pozitif olduğu için $$T+2t = 5 \text{ ve } T-2t=1$$ $$\Rightarrow t=1 \Rightarrow s^2 + s - 2 = (s+2)(s-1) = 0$$ $$\Rightarrow (s,t) = (1,1)$$
« Son Düzenleme: Ağustos 20, 2013, 11:12:37 öö Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 233
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 1994 Soru 5
« Yanıtla #2 : Temmuz 15, 2019, 06:43:35 ös »
$t^2+1=s.(s+1)$ ifadesini $t^2=s^2+s-1$ şeklinde düşünürsek $s^2<s^2+s-1$ olması için $0<s-1$, $1<s$ olmalıdır.
$s^2+s-1<s^2+2s+1$ olması için ise $s-1<2s+1$, yani $-2<s$ olmaldıır. O halde $s>1$ için
$s^2<s^2+s-1<s^2+2s+1$, yani $(s)^2<t^2<(s+1)^2$  olacağından ardışık iki tam sayının karesi arasında başka bir tam sayının karesi bulunamaz.  O halde $s\le 1$ olmalıdır. Soruda verilen $s\ge 1$ ifadesinden dolayı $s=1$ olur.
$t^2+1=1\cdot 2$. Yani $t^2=1$, buradan ise $t\ge 1$ olduğu için çözüm kümemiz $\{(1,1)\}$ olarak bulunur.
 
« Son Düzenleme: Temmuz 23, 2019, 07:24:52 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal