Gönderen Konu: Harmonik Seri  (Okunma sayısı 3579 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Harmonik Seri
« : Temmuz 20, 2013, 07:42:05 ös »
 $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k}$  kısmi toplamı  için $k$ 'ya bağlı bir alt ve bir üst sınır bulabilir misiniz?
« Son Düzenleme: Ağustos 24, 2013, 11:50:35 ös Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2808
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Ynt: Harmonik Seri
« Yanıtla #1 : Temmuz 22, 2013, 03:12:16 öö »
Bu seri toplam sonsuza gidiyor. yakınsak bir seri olmadığı için üst sınır veremeyiz. k sonsuza gidiyorsa (seri dendiği için sonsuz terimli bir toplamdan bahsedildiğini varsayıyorum) alt sınır olarak da herhangi bir pozitif sayıyı verebiliriz. Örneğin bu toplam 100'den büyüktür diyebiliriz.

Diğer taraftan ak = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k dizisi için bir alt toplam istenirse bu dizi monoton artan olduğundan alt sınır a1 = 1 dir. Yani her k pozitif tamsayısı için ak > 1 olur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: Harmonik Seri
« Yanıtla #2 : Temmuz 23, 2013, 10:48:50 öö »
Hocam seri kelimesini kısmi toplam olarak değiştirdim ve soruyu tekrar ifade ettim.
« Son Düzenleme: Temmuz 23, 2013, 02:51:31 ös Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: Harmonik Seri
« Yanıtla #3 : Mart 29, 2019, 10:52:25 öö »
$n\ge 7$ için   $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$

Olduğundan dolayı;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1 i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1 i+\dfrac{1}{n+1}\le \sqrt n +\dfrac{1}{n+1}$

Olur ve ;

$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bu eşitsizliği ispatlamak işleri çözüyor.

Neden?

Çünki;

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$  varsayıp;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1i \le \sqrt {n+1}$  olduğunu göstermemiz gerekiyor.


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bununla biraz oynarsak;


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1} \quad\equiv\quad \dfrac1 {n+1}\le \sqrt{n+1}-\sqrt n$

$\equiv\quad \dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\le n+1$

$\equiv \quad \left(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$


Öte yandan son eşitsizlik olan,   $\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$   ,bu eşitsiziliği kanıtlamak  için;


$\sqrt{n+1}+\sqrt n<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}$  ve doğal olarak

$2\sqrt{n+1}\le n+1$ eşitsizliğini kanıtlamamız gerek;

sadeleşme yaparsak;

$2\le \sqrt{n+1}$ bulunur ki bu eşitsizlik ,$\forall n\ge 3$ için geçerlidir.

İspatımız tamamlandı.$\Box$ 
Çözüm için Anıl Yalçın'a teşekkürler.
« Son Düzenleme: Ağustos 06, 2019, 05:30:00 ös Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 329
  • Karma: +7/-0
Ynt: Harmonik Seri
« Yanıtla #4 : Mart 30, 2019, 12:31:56 öö »
İddia: Tüm $k$ pozitif tam sayıları için $1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +...+\dfrac{1}{k} \ge \log_{10}{k}$ eşitsizliği sağlanır.
« Son Düzenleme: Mart 30, 2019, 09:03:37 öö Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: Harmonik Seri
« Yanıtla #5 : Ağustos 06, 2019, 05:38:28 ös »
Her  $n\gt1$ tamsayısı için $$1/2\lt1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)\lt3/4$$  eşitsizliği mevcuttur. Gösteriniz.


 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal