Gönderen Konu: Üstel Denklem  (Okunma sayısı 2246 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • ******
  • İleti: 767
  • Karma: 11
Üstel Denklem
« : Temmuz 16, 2013, 01:01:04 ös »
(x + y)x - xx + y = 2  denklemini pozitif tamsayılarda çözünüz.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 318
  • Karma: 5
Ynt: Üstel Denklem
« Yanıtla #1 : Mayıs 31, 2014, 08:55:46 ös »
$x+y=a$, $x=b$ diyelim. $a^b-b^a=2$ denklemini çözmemiz gerekir. Ayrıca $x$ ve $y$ pozitif tamsayılar olduğundan $a>b$ olacaktır.
$a=3,b=1$'in bir çözümü olduğu kolaylıkla görülebilir.
$a\geq4$ olsun.
$a=4 \longrightarrow b=1 \Rightarrow 4^1-1^4=3>2$, $b=2 \Rightarrow 4^2-2^4=0<2$
$a=5 \longrightarrow b=1 \Rightarrow 5^1-1^5=4>2$, $b=2 \Rightarrow 5^2 - 2^5=-7<2$

$\cdots$

$a\geq4$ için çözüm yok gibi görünüyor. Ancak ispatlamamız gerekir.
$a\geq4$ ve $b=1$ iken $a^1-1^a=a-1\geq3>2$ olduğu için çözüm olmaz.
$a\geq4$ ve $b=2$ iken $a^b-b^a<2$ olduğunu ispatlamalıyız. $a^b-b^a<2$ ise $a^{b+1}-(b+1)^a<2$ olduğu açıktır. Çünkü değişken $b$ olduğundan $b^a$ sayısı daha hızlı büyümektedir.
Örneğin $a=6$ iken, $6^2 - 2^6 = -28$, $6^3 - 3^6 = -513$, $6^4 - 4^6=-2800$, $6^5-5^6=-7849$
$4^2-2^4=0<2$'dir. $4$ sayısı büyüdükçe $a^2-2^a$ sayısının küçüldüğünü gösterelim.
$a^2 - 2^a > (a+1)^2 - 2^{a+1}$
$\Longleftrightarrow 2^{a+1}-2^a > a^2+2a+1-a^2$
$\Longleftrightarrow 2^a > 2a+1$
Bu eşitsizliğin her $a\geq4$ sayısı için doğru olduğu açıktır. O halde $a^2-2^a$ sayısı her $a\geq4$ sayısı için $2$'den küçüktür. Ve herhangi bir $a\geq4$ sayısı için $a>b$ iken $2>a^b-b^a>a^{b+1}-(b+1)^a$ olacağının açık olduğunu da belirttik. Dolayısıyla $a\geq4$ için asla çözüm gelmez.
$a=3 \Rightarrow b=1$'dir.
$a=2$ ve $a=1$ için ise çözüm gelmeyeceği açıktır.
Dolayısıyla $a^b-b^a=2$ eşitliğini sağlayan tek $(a,b)$ pozitif tamsayı ikilisi $(3,1)$'dir. Bu durumda soruda verilen eşitliği sağlayan tek $(x,y)$ pozitif tamsayı ikilisi $(1,2)$'dir.
« Son Düzenleme: Şubat 11, 2015, 12:22:11 öö Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal