Mathematical Reflections - J.58'e alternatif çözüm:
$\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(c+\dfrac{1}{a}\right)^2=\dfrac{(ab+1)^2}{b^2}+\dfrac{(bc+1)^2}{c^2}+\dfrac{(ac+1)^2}{a^2}$
Son ifade $b^2 + c^2 + a^2$ ile çarpılırsa, $(b^2+c^2+a^2)\cdot\left[\dfrac{(ab+1)^2}{b^2}+\dfrac{(bc+1)^2}{c^2}+\dfrac{(ac+1)^2}{a^2}\right]\geq[(ab+1)+(bc+1)+(ac+1)]^2=16$ (
Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)$
\Longrightarrow \dfrac{(ab+1)^2}{b^2}+\dfrac{(bc+1)^2}{c^2}+\dfrac{(ac+1)^2}{a^2}\geq\dfrac{16}{b^2+a^2+c^2}$ bulunur. (Bkz.
Faydalı Eşitsizlik)
Öte yandan, $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac$ 'dir. İspat için, eşitsizlik $2$ ile çarpılırsa, $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0$ haline gelir.
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac \Longrightarrow \dfrac{16}{a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{16}{ab+bc+ac}=16
\Longrightarrow \dfrac{(ab+1)^2}{b^2}+\dfrac{(bc+1)^2}{c^2}+\dfrac{(ac+1)^2}{a^2} \geq 16$ elde edilir.
O halde, $\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(c+\dfrac{1}{a}\right)^2 \geq 16$'dır.
