Gönderen Konu: AÜMO-2001  (Okunma sayısı 3711 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
AÜMO-2001
« : Ekim 19, 2007, 11:42:35 ös »
(Akdeniz Ünv. Mat. Olimpiyatı-2001): x,y gerçel sayıları x3 - 3xy2 = 10 ve y3 - 3yx2 = 5 eşitliklerini sağlıyorsa x2 + y2 ifadesi aşağıdakilerdan hangisine eşittir?

13      8      10      5      18
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Mathopia

  • Administrator
  • G.O Demirbaş
  • *******
  • İleti: 221
  • Karma: 8
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #1 : Ekim 19, 2007, 11:58:39 ös »
her iki ifadenin karelerı alınıp taraf tarafa toplanırsa (x2+y2)3=125 çıkar ki cvp 5 tir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #2 : Ekim 20, 2007, 12:20:08 öö »
Zihninize sağlık hocam, ben de şöyle düşündüm: i2 = -1 olmak üzere ikinci denklemi -i ile çarparsak 3ix2y + (iy)3 = -5i olur.Bu yeni denklem, ilk denklem ile toplanırsa (x + iy)3 = 10 - 5i olur. Her iki tarafın modülü (uzunluğu) alınırsa
|x + iy|3 = (125)1/2 ve buradan da x2 + y2 = 5 çıkar.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #3 : Ekim 20, 2007, 01:13:51 öö »
Soru (L.GÖKÇE): x,y reel sayılar olmak üzere

x2 - y2 = 8  ve  2xy = 15  ise

a) x2 + y2 = ?     b) denklemi sağlayan tüm (x,y) çözümlerini bulunuz.

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Mathopia

  • Administrator
  • G.O Demirbaş
  • *******
  • İleti: 221
  • Karma: 8
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #4 : Ekim 20, 2007, 01:17:25 öö »
a seçeneği yukardaki çözümler dıkkate alınarak çözüldüğünde 17 çıkmaktadır.

b seçeneğınde ıse çözümlerden biri x2-y2=8  ile x2+y2=17 taraf tarafa toplandığında (5.21/2/2,3.21/2/2) çıkmaktadır.

unutmuşum  diğer çözümde  (-5.21/2/2,-3.21/2/2) olacaktır.
« Son Düzenleme: Ekim 20, 2007, 03:00:38 öö Gönderen: felixmurd3r »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #5 : Ekim 21, 2007, 04:03:46 ös »
2.yol:
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #6 : Ekim 21, 2007, 04:09:14 ös »
Bir soru daha sorarak, meseleyi sonuca bağlayalım:

x3 - 3xy2 = 8 , 3x2y - y3 = 0 denklem sistemini sağlayan tüm (x,y) reel ikililerini bulunuz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı senior

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ******
  • İleti: 372
  • Karma: 7
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #7 : Ekim 22, 2007, 09:38:09 ös »
y=0, x=2 bi çözüm. y, 0 değilse;
3x2=y2, diğer denklemde yerine koyarız:
-8x3=8 ==> x=-1 ve y=3

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #8 : Ekim 22, 2007, 09:54:45 ös »
güneş kardeş, üç tane (x,y) ikilisi olacak.. bi de, x = -1, y = 3 denklemi sağlamaz. yorulmadan çözersin sen bu soruyu :).kolay gelsin...
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2646
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: AÜMO-2001
« Yanıtla #9 : Ağustos 16, 2015, 03:36:27 öö »
Bir soru daha sorarak, meseleyi sonuca bağlayalım:

x3 - 3xy2 = 8 , 3x2y - y3 = 0 denklem sistemini sağlayan tüm (x,y) reel ikililerini bulunuz.

Güneş kardeşim bu soruyu sana havale etmişiz ama çözememişsin galiba :D.

İkinci denklemi sanal birim olan $i$ ile çarpıp ilk denklemle taraf tarafa toplarsak $(x+iy)^3=8$ olur. $z=x+iy$ dersek $z^3=8(\cos0^\circ + i\sin 0^\circ)$ elde edilir. Buradan $z_1=2$, $z_2=2(\cos120^\circ + i\sin 120^\circ)= -1 + i\sqrt3 $, $z_3=2(\cos240^\circ + i\sin 240^\circ)= -1 - i\sqrt3 $ çözümleri elde edilir. Yani $(x,y)$ ikilileri $(2,0)$, $(-1,\sqrt3)$, $(-1,-\sqrt3)$ şeklinde üç tanedir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal