Gönderen Konu: karesel-aritmetik-geometrik-harmonik ortalmalar  (Okunma sayısı 13888 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2808
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
karesel-aritmetik-geometrik-harmonik ortalmalar
« : Ekim 10, 2007, 09:29:02 ös »
$a,b,c > 0 $ reel sayılar olmak üzere bu üç sayı için

karesel ortalama = $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2 +c^2}{3}}$

aritmetik ortalama = $\dfrac {a+ b + c}{3}$

geometrik ortalama = $\sqrt[3]{a.b.c}$

harmonik ortalama = $\dfrac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$

olarak tanımlanır.Buna göre

$H.O \leq G.O \leq A.O \leq K.O $ olduğunu ispatlayınız. Eşitlik durumu ancak ve ancak $a = b = c$ iken sağlanır.
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2015, 03:14:13 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2808
  • Karma: +19/-0
  • İstanbul
Ynt: karesel-aritmetik-geometrik-harmonik ortalmalar
« Yanıtla #1 : Ekim 11, 2007, 02:13:46 ös »
ortalama eşitsizliklerinin hepsi bunlar değil. daha genel haldeki ortlama eşitsizliklerinin ispatlarına buradan devam edebiliriz. ben üsttekileri ispatlayayım:

Önce A.O < K.O eşitsizliğine bakalım:
(a + b + c)/3 < [(a2 + b2 + c2)/3]1/2
(a + b + c)2/9 < (a2 + b2 + c2)/3
2(ab + ac + bc) < 2(a2 + b2 + c2)
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 > 0
bu son eşitsizliğin doğru olduğunu biliyoruz ve eşitlik durumu ancak ve ancak a = b = c iekn sağlanır. O halde ilk eşitsizlik de doğrudur.

Şimdi de G.O < A.O eşitsizliğine bakalım. Bundan önce, her x, y, z reel sayısı için doğru olan:
 x3 + y3 + z3 - 3.x.y.z = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) özdeşliğini yazalım. Bunun ispatı kolaydır. Sağ taraftaki parantezleri açarak sol tarafa eşit olduğu kolayca görülebilir. Başka bir yol da x3 + y3 + z3 - 3.x.y.z polinomunu bölme algoritması ile  (x + y + z) polinomuna bölmektir. Bölümün (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) olacağı gösterilip özdeşlik ispatlanır.

(a.b.c)1/3 < (a + b + c)/3 eşitsizliğinde a = x3, b = y3, c = z3 değişken değiştirmesi yapalım.
x3 + y3 + z3 > 3.x.y.z olduğunu göstermeliyiz. Fakat yukarıdaki yazdığımız özdeşlikte birinci çarpan x + y +z > 0 aşikar ve x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 1/2.((x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2) > 0 olur. Böylece görüyoruz ki özdeşliğin sağ tarafı negatif olmamaktadır. O halde sol taraf da negatif olamaz ve x3 + y3 + z3 - 3.x.y.z > 0 bulunur. Eşitlik, ancak ve ancak x = y = z (ve dolayısıyla a= b = c) için sağlanır.

Son olarak H.O < G.O kaldı. 3/(a-1 + b-1 + c-1) < (a.b.c)1/3 olduğunu göstereceğiz. a = x-1, b = y-1, c = z-1 değişken değiştirmesi yaparsak (x + y + z)/3 > (x.y.z)1/3 eşitsizliğini elde edeceğimiz görülebilir. Bu ise bildiğimiz A.O > G.O eşitsizliğinden başka birşey değildir. Bitti.
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2007, 04:15:47 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 780
  • Karma: +14/-0
Ynt: karesel-aritmetik-geometrik-harmonik ortalmalar
« Yanıtla #2 : Kasım 20, 2007, 02:35:03 öö »
Bir zamanlar yaptığım bir derleme.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal