Gönderen Konu: Eşitsizlik  (Okunma sayısı 1159 defa)

Çevrimdışı LaçinCanAtış

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 56
  • Karma: +3/-3
Eşitsizlik
« : Ekim 11, 2016, 01:19:29 öö »
a,b,c pozitif real sayılar olmak üzere ;
$$\sum \frac{a^2+1}{b+c}\ge 3$$
olduğunu ispatlayınız ve eşitlik durumunu gösteriniz.

Çevrimdışı Arman

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 52
  • Karma: +1/-1
Ynt: Eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Ekim 13, 2016, 06:17:37 ös »
$\sum \dfrac{a^2+1}{b+c}=\sum\dfrac{a^2}{b+c}+\sum\dfrac{1}{b+c}$

C-S eşitsizliğinden,

$(\sum\dfrac{a^2}{b+c}+\sum\dfrac{1}{b+c}).(4(a+b+c))\ge(a+b+c+3)^2$

$(\sum\dfrac{a^2}{b+c}+\sum\dfrac{1}{b+c})\ge\dfrac{(a+b+c+3)^2}{4(a+b+c)}$

$a+b+c=x$ dersek,

$\dfrac{(a+b+c+3)^2}{4(a+b+c)}=\dfrac{(x+3)^2}{4.x}=\dfrac{x^2+6.x+9}{4x}$

$=\dfrac{x}{4}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4.x}\ge \dfrac{3}{2}+ 2.\sqrt{\dfrac{x}{4}.\dfrac{9}{4x}}=3$

Eşitlik durumu $x=y=z=1$ iken gerçekleşir.
« Son Düzenleme: Ekim 13, 2016, 09:00:49 ös Gönderen: Arman »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 323
  • Karma: +7/-2
Ynt: Eşitsizlik
« Yanıtla #2 : Ekim 14, 2016, 12:50:54 öö »
$\sum_{cyc}\dfrac{a^2+1}{b+c}=K$ olsun.
$x^2+1\ge2x$ olduğu kullanılırsa $K\ge\sum_{cyc}\dfrac{2a}{b+c}=2\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}$
$\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}$ olduğu Nesbitt Eşitsizliği olarak bilinir.
Dolayısıyla $K\ge2\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge2\cdot\dfrac{3}{2}=3$ $\blacksquare$
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal