Gönderen Konu: Lemoine Doğrusu (Lemoine Line)  (Okunma sayısı 2506 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ******
  • İleti: 1381
  • Karma: 7
Lemoine Doğrusu (Lemoine Line)
« : Ağustos 09, 2015, 11:33:36 ös »
Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $A, B, C$ noktalarında teğet olan olan doğruların $BC, CA$ ve $AB$ doğrularını kestiği noktalar sırasıyla $P, Q$ ve $R$ olmak üzere, $P-Q-R$ aynı doğru üzerindedir.

« Son Düzenleme: Eylül 12, 2015, 04:17:25 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2659
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: Lemoine Doğrusu
« Yanıtla #1 : Ağustos 10, 2015, 12:02:43 öö »
Çözüm: Üçgenin $A$, $B$, $C$ köşelerindeki açıları sırasıyla $\alpha$, $\beta$, $\theta$ ile; bu açıların karşısındaki kenar uzunluklarını da $a$, $b$, $c$ ile gösterelim.

$\dfrac{|AR|}{|RB|}= \dfrac{Alan(ACR)}{Alan(BCR)}=\dfrac{|AC||CR|\sin{ACR}}{|BC||CR|\sin{BCR}}= \dfrac{b\sin{\beta}}{a\sin{\alpha}}$ olur. Benzer yolla,

$\dfrac{|BP|}{|PC|}=\dfrac{c\sin{\theta}}{b\sin{\beta}}$ ve $\dfrac{|CQ|}{|QA|}=\dfrac{a\sin{\alpha}}{c\sin{\theta}}$

elde edilir. Bu eşitliklerin çarpımından

$$\dfrac{|AR|}{|RB|}\cdot \dfrac{|BP|}{|PC|} \cdot \dfrac{|CQ|}{|QA|} =1 $$

elde edilir. Bu ise Menelaüs teoreminin karşıtı olup $P$, $Q$, $R$ noktaları doğrusaldır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş
  • ******
  • İleti: 319
  • Karma: 5
Ynt: Lemoine Doğrusu
« Yanıtla #2 : Ağustos 24, 2015, 01:03:14 öö »
Lemoine Doğrusu'nun bir diğer özelliği ise, üçgenin Simedyan Noktası'nın kutup doğrusu olmasıdır. Bu nedenle üçgenin Simedyan Noktası'na bazen Lemoine Noktası da denmektedir.

Öncelikle birkaç tanım, lemma ve teorem hatırlatalım.

Simedyan: $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden geçen kenarortayın $A$ köşesinden geçen içaçıortaya göre simetriğine "$A$ köşesinden geçen simedyan" denir. Dolayısıyla bir köşeye ait simedyan ve kenarortay izogonal doğrulardır.
$A, B, C$ köşelerinden geçen simedyanlar noktadaş olup kesiştikleri noktaya "$ABC$ üçgeninin simedyan noktası" adı verilir. Üçgenin simedyan noktası ile ağırlık merkezi izogonal eşleniktir.

Kutup Doğrusu: Bir çemberin dışındaki bir noktanın bu çembere göre kutup doğrusu, bu noktadan çembere çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren doğrudur. Kutup doğrusunun genel tanımı ise bu linkteki mesajda verilmiştir: http://geomania.org/forum/2009-58/2-3290/msg12141/#msg12141
$A$ noktasının $O$ merkezli bir çembere göre kutup doğrusu $AO$ doğrusuna diktir.


Lemma: $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $B$ ve $C$ den çizilen teğetler $D$ noktasında kesişiyorsa $AD$ simedyandır.


İspat: $M$, $BC$ nin orta noktası olsun.

$D$ merkezli $DB=DC$ yarıçaplı çemberi çizelim. $AB$ ve $AC$ bu çemberi ikinci kez sırasıyla $P$ ve $Q$'da kessin.
$\angle ABQ=\angle ABC+\angle CBQ = \angle ABC + \angle ACB - \angle CQB = \angle ABC +\angle ACB - \dfrac{\angle CDB}{2} =  \angle ABC +\angle ACB - \dfrac{180^\circ - 2\angle BAC}{2} =  \angle ABC +\angle ACB + \angle BAC - 90^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

$\Longrightarrow \angle PBQ=90^\circ \Longrightarrow D$, $PQ$ nun orta noktası

$\triangle ABC \sim \triangle AQB$ ve $AM$ ile $AD$ sırasıyla bu üçgenlerin kenarortayları olduklarından $\angle BAD=\angle QAD=\angle CAD$ dir. Yani $AM$ ve $AD$ izogonal ve $AD$ simedyandır. $\square$


Teorem (La Hire Teoremi): $A$ noktasının bir çembere göre kutup doğrusu $B$ noktasından geçiyorsa, $B$ noktasının bu çembere göre kutup doğrusu da $A$ noktasından geçer.


İspat: Çemberin merkezi $O$ olsun. $A$ noktasından çembere çizilen teğetlerin değme noktaları $C$ ve $D$ olsun. $AO\cap CD=\{E\}$ olsun. $A$ dan $OB$ ye çizilen dikin ayağı $G$ olsun. $B$ noktasından çembere çizilen bir teğetin değme noktası $F$ olsun.

$\angle AEB=\angle AGB=90^\circ$ olduğundan $AEGB$ çemberseldir. Dolayısıyla $O$ noktasının bu çembere göre kuvvetinden $OE\cdot OA=OG\cdot OB$ bulunur. Ayrıca $O$ merkezli çemberin yarıçapına $r$ dersek $r^2=OE\cdot OA$ olduğunu bildiğimizden $r^2=OG\cdot OB$ bulunur. Bu da $OF^2=OG\cdot OB$ olduğunu, yani $G$ nin $F$ den $OB$ ye inilen dikin ayağı olduğunu gösterir. Dolayısıyla $AF\perp OB$ yani $A$ noktası da $B$ noktasının kutup doğrusu üzerindedir. $\square$


Bu Lemma ve La Hire Teoremi yardımıyla üçgenin simedyan noktasının kutup doğrusunun Lemoine Doğrusu olduğunu ispatlayalım.


$ABC$ üçgeninde çevrel çembere $B$ ve $C$ den çizilen teğetler $D$ de, $A$ ve $C$ den çizilen teğetler $E$ de, $A$ ve $B$ den çizilen teğetler $F$ de kesişsin. Lemma gereği $AD$, $BE$ ve $CF$ simedyan olup, kesiştikleri nokta $ABC$ üçgeninin simedyan noktasıdır. Bu noktayı $L$ ile gösterelim.

Üçgenin çevrel çemberine $A$ dan çizilen teğet ile $BC$ $P$ noktasında, $B$ den çizilen teğet ile $AC$ $Q$ noktasında, $C$ den çizilen teğet ile $AB$ $R$ noktasında kesişsin. $PQR$ doğrusunun Lemoine Doğrusu olduğunu biliyoruz.

$D$ noktasının kutup doğrusu $BC$ ve $P$ de bu doğrunun üstünde olduğundan La Hire Teoremi gereği $P$ noktasının kutup doğrusu $D$ den geçer.

$PA$ çembere teğet olduğundan $P$ noktasının kutup doğrusu $A$ dan geçer. Dolayısıyla $AD$, $P$ noktasının kutup doğrusudur.

$L$ noktası $P$ noktasının kutup doğrusu olan $AD$ üzerinde bulunduğundan, La Hire Teoremi gereği $P$ noktası da $L$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bulunmalıdır.

Benzer şekilde $Q$ ve $R$ nin de $L$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bulunduğu ispatlanabilir. Bunlar, $L$ noktasının kutup doğrusunun $PQR$ yani Lemoine Doğrusu olduğunu gösterir. $\blacksquare$
« Son Düzenleme: Ağustos 24, 2015, 01:05:44 öö Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal