Gönderen Konu: Ortopol  (Okunma sayısı 2789 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1688
  • Karma: 5
Ortopol
« : Mart 09, 2013, 05:37:40 ös »
Bir ABC üçgeni ile bir l doğrusu veriliyor. A, B, C nin l üzerindeki izdüşümleri sırasıyla A', B', C' olsun. A', B', C' ün sırasıyla BC, AC, AB doğruları üzerindeki izdüşümleri sırasıyla A'', B'', C'' olsun.
A'A'', B'B'', C'C'' doğruları ortak bir P noktasına sahiptir. Bu P noktasına, l doğrusu ile ABC üçgeninin ortopolü denir. (Türkçesini bilmiyorum; ama belki Orthopole = Diklik kutbu şeklinde çevirilebilir.)

İspat:


Alıntı
Lemma:
Bir ABCD kirişler dörtgeninde köşegenlerin kesişim noktası E olsun.
DE/EB=(AD.CD)/(AB.BC) dir.

İspat:
[ADC]/[ABC]=(AD.CD)/(AB.BC)
[ADC]/[ABC]=DE/EB
=> DE/EB=(AD.CD)/(AB.BC) dir.


A'A'' ile B'B'' doğruları P noktasında kesişssin. AB doğrusunun PC' doğru doğrusuna dik olduğunu göstereceğiz.

AA' ile CA'' doğruları Q da kesişsin. AB doğrusu, (AQC) çemberini ikinci kez R de kessin.
Yukarıdaki lemma gereği; QB/BC = (AQ.QR)/(AC.CR) dir. [1]

QA'//BB'//CC' olduğu için QB/BC=A'B'/B'C' olacağından,
A'B'/B'C' =  (AQ.QR)/(AC.CR) dir. [2]

P,A'',B'',C noktaları çembersel olduğu için m(B''PA'') = m(A''CA);
m(AQB)=m(QA''A') ve m(PA'Q)=m(A'A''Q) + m(A''QA') olduğundan, m(AQB)=m(B'A'P) dir.
Bu durumda (A.A) dan PB'A' ~ CAQ olur.
Benzerlik oranlarını yazarsak;
AQ/A'B' = AC/B'P elde ederiz. [3]

[2] ile [3] ü taraf tarafa çarparsak;
AQ/B'C' = (AQ.QR.AC)/(AC.CR.B'P) => B'P/B'C' = QR/RC elde edilir. [4]

Basit açı hesaplarıyla, m(QRC) = 180-m(QAC) = 180-m(A'B'P) = m(PB'C') elde edilir. Bu durumda B'PC' ~ RQC (K.A.K) dır.
Açı eşitliklerini yazarsak, m(B'PC') = m(CQR) = m(CAR) olduğu için AR doğrusu PC' doğrusuna diktir. Bu durumda, C' noktasının AB üzerindeki izdüşümü C'P üzerindedir. ■
« Son Düzenleme: Mart 09, 2013, 05:56:28 ös Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal