Gönderen Konu: Kenarortaysı (Simedyan)  (Okunma sayısı 3936 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1688
  • Karma: 5
Kenarortaysı (Simedyan)
« : Kasım 04, 2012, 03:55:36 ös »
Bir üçgende bir köşeden geçen kenarortay doğrusunun, o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine (izogonal eşleniğine) o köşeye ait kenarortaysı (simedyan) denir. ABC üçgeninde A köşesine ait kenarortaysı BC kenarını K de kesiyorsa,
BK/KC=AB2/AC2 olduğunu gösteriniz. (Elde edilen bu bağıntı ile Öklid’in dik üçgendeki hangi bağıntısı özdeş?)

Kenarortaysının kenarortaydan büyük olamayacağını gösteriniz. (a ≤ ma)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • ******
  • İleti: 776
  • Karma: 11
Ynt: Kenarortaysı (Simedyan)
« Yanıtla #1 : Kasım 06, 2012, 09:02:57 ös »
İlk önce izogonal eşlenikle ilgili bir yardımcı iddia kanıtlayalım.
Yardımcı İddia.Şekilde |BD|=|DC|  olmak üzere  AK doğrusu simedyandır ancak ve ancak  x/y=c/b

Kanıt.İlk tarafın kanıtı ile başlayalım.AK doğrusu simedyan ve K noktasının   AB  ve  AC kenarlarına uzaklığı sırasıyla x ve y,  D ninki de sırasıyla n ve m olsun.Bu durumda oluşan dik üçgenlerin benzerliğinden  x/m=AK/AD  ve n/y=AD/AK ve dolayısıyla  x/y=m/n ....(1)  yazılabilir.AD kenarortayı ABC üçgeninin alanını ortalayacağından Alan(ABD)=Alan(ADC)=c.n=b.m  ve m/n=c/b....(2) dir.(1) ve (2) den x/y=c/b olur.
Şimdi x/y=c/b olduğunu kabül edelim.c/b=m/n olduğundan x/y=m/n dir.Bunun anlamı AD ile AK doğrularının izogonal olmasıdır ve AD kenarortay olduğundan AK doğrusu simedyan olmalıdır.

İddia.
Bir üçgende bir köşeden geçen kenarortay doğrusunun, o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine (izogonal eşleniğine) o köşeye ait kenarortaysı (simedyan) denir. ABC üçgeninde A köşesine ait kenarortaysı BC kenarını K de kesiyorsa,
BK/KC=AB2/AC2 olduğunu gösteriniz. (Elde edilen bu bağıntı ile Öklid’in dik üçgendeki hangi bağıntısı özdeş?)

Kanıt.Şekilde temel benzerlik teoreminden BK/KD=x/n  ve  CD/CK=m/y=BD/CK yazılabilir.Bu iki eşitliğin çarpımı ve yardımcı iddiadan  BK/CK=(x/n).(m/y)=(c/b).(c/b)=c2/b2 elde olunur.

Dik üçgende bilinen gösterimlerle  c2=p.a  ve b2=k.a eşitlikleri birbirine bölünürse c2/b2=p/k olur.Burada dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin simedyan olduğunu gözlemleyebiliriz.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • ******
  • İleti: 776
  • Karma: 11
Ynt: Kenarortaysı (Simedyan)
« Yanıtla #2 : Kasım 07, 2012, 01:14:27 öö »
İddia. Kenarortaysı  ka , kenarortay VA olmak üzere  ka nın VA dan küçük eşit olduğunu gösteriniz.

Kanıt. Şekilde AN hem AKD üçgeninin hem de ABC üçgeninin açıortayıdır.Buradan BN/CN=c.k/b.k ve k(c+b)=a olup k=a/(c+b) olduğundan BN=c.a/(b+c)  ve CN=b.a/(b+c) yazılır.AK simedyan olduğundan BK/CK=c2.k'/b2.k'   ve k'(c2+b2)=a olup  k'=a/(b2+c2) olduğundan BK=c2.a/(c2+b2) ve CK=b2.a/(c2+b2)  yazılır.AKD üçgeninde açıortay teoreminden
ka/VA=x/y=(BN-BK)/(CN-CD) olup bulunan ifadeler yerine yazılırsa ka/VA=2bc/(b2+c2)  ve aritmetik orta geometrik orta eşitsizliğinden 2bc küçük eşit b2+c2 olduğundan istenen gösterilmiş olur.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 1688
  • Karma: 5
Ynt: Kenarortaysı (Simedyan)
« Yanıtla #3 : Kasım 07, 2012, 03:56:36 ös »
Kenarortaysının kenarortaydan büyük olamayacağı açı-kenar bağıntıları vasıtasıyla da gösterilebilir.

∠B > ∠C ise kenarortaysı B'ye, kenarortay da C'ye daha yakın olacak.
Yukarıdaki şekli kullanırsak, AKM üçgeninde ∠AKC > ∠ADB olduğu için AD>AK dır.
∠B = ∠C olduğu durumda AD = AK olacağı için  ℓa ≤ ma eşitsizliği elde edilir.
« Son Düzenleme: Kasım 07, 2012, 04:02:06 ös Gönderen: bosbeles »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal