Gönderen Konu: Newton-Gauss doğrusu (Newton-Gauss Line)  (Okunma sayısı 3694 defa)

Çevrimdışı hanzala

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 8
  • Karma: 0
Newton-Gauss doğrusu (Newton-Gauss Line)
« : Ocak 01, 2012, 04:46:42 öö »
Teorem (Newton - Gauss Doğrusu): $ABC$ bir üçgen olsun. $ABC$ nin $AB, BC, CA$ kenarlarını (veya gerekirse uzantılarını) $D, E, F$ noktalarında kesen herhangi bir doğru çizelim. $DC, AE, BF$ doğru parçalarının orta noktaları doğrusaldır. Bu doğruya Newton - Gauss doğrusu denir.
« Son Düzenleme: Eylül 16, 2015, 04:55:48 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 2659
  • Karma: 16
  • Banana Republic
Ynt: newton-gauss doğrusu
« Yanıtla #1 : Ocak 01, 2012, 03:24:23 ös »
 Newton doğrusu ya da Gauss doğrusu isimleriyle bilinen klasik teorem, bazen newton - gauss doğrusu ismiyle de kullanılıyor. biz iki ismi de kullanalım.

Teorem (Newton - Gauss Doğrusu): ABC bir üçgen olsun. ABC nin AB, BC, CA kenarlarını (veya gerekirse uzantılarını) D, E, F noktalarında kesen herhangi bir doğru çizelim. DC, AE, BF doğru parçalarının orta noktaları doğrusaldır. Bu doğruya Gauss doğrusu veya Newton - Gauss doğrusu denir.

AE, DC, BF doğru parçalarının orta noktaları X, Y, Z olsun.  En kolay ispatı şu şekilde yapılır. Önce X, Y, Z noktaları ABC nin medial üçgeninin kenarları üzerinde bulunduğu gösterilir. Sonra medial üçgen ve X, Y, Z için menelaüs teoreminin sağlandığı gösterilir.

başlayalım: AB, AC, BC nin orta noktaları K, L, M olsun. KLM medial üçgendir. KL doğru parçası BC nin orta tabanı olduğundan KL // BC dir. XL, AEC üçgeninde EC nin orta tabanı olduğundan XL // EC dir. Böylece KL // XL olup KL ve XL doğruarı çakışmak zorundadır. X noktası KL üzerindedir. Benzer şekilde Y ve Z noktaları sırasıyla ML ve KM üzerinde olduğu gösterilebilir. AXL ~ AEC ve AXK ~AEB olduğundan AX/AE = LX/CE ve AX/AE = XK/EB dir. Buradan LX/XK = CE/EB ... (1) elde edilir. benzer şekilde KZ/ZM = AF/FC ... (2) ve MY/YL = BD/DA ... (3)

(1), (2), (3) eşitliklerini taraf tarafa çarparsak: (LX/XK)(KZ/ZM)(MY/YL) = (CE/EB).(BD/DA).(AF/FC) dir. Fakat D,E,F noktaarından geçen doğru ABC üçgeni için bir kesen olduğundan menelaüs teoremi gereince (CE/EB).(BD/DA).(AF/FC) = 1 dir. Dolayısıyla (LX/XK)(KZ/ZM)(MY/YL) = 1 olur. Bu ise menelaüs teoreminin karşıtı olup KLM üçgeni için X, Y, Z nin bir kesen oluşturduğunu (doğrusal olduğunu) gösterir.
« Son Düzenleme: Ocak 01, 2012, 07:27:17 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal