Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Aralık 12, 2018, 06:49:29 ös

Başlık: Trigonometri sorusu
Gönderen: AtakanCİCEK - Aralık 12, 2018, 06:49:29 ös
$\cos^2(\pi(a-x))-2\cos(\pi(a-x))+\cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot\cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})+2=0$ denkleminin sadece bir reel kökü olacak şekildeki en küçük $a$ doğal sayısını bulunuz.
Başlık: Ynt: Trigonometri sorusu
Gönderen: metonster - Şubat 09, 2019, 10:15:21 ös
Öncelikle sorunun mu yanlış yoksa benim çözümüm mü yanlış bilmiyorum bu yüzden eğer yanlışım varsa lütfen düzeltin.

Denklemi düzenlersek, $(cos(\pi (a-x))-1)^2+cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})=-1$ olur. Burada $(cos(\pi (a-x))-1)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $0$, $cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $-1$ olduğu görülebilir. Dolayısıyla bu iki ifadenin toplamının $-1$ olabilmesi için ikisinin de en küçük değerini alması gerekir. $$\Rightarrow cos(\pi (a-x))=1 \Rightarrow a-x=2k, \space k\in  \mathbb{Z}\space \dots(1)$$ Buradan $x$'in tamsayı olduğu görülür.
$cos(\dfrac{3\pi x}{2a})\cdot cos(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3})=-1$ denkleminde $\dfrac{\pi x}{2a}=t-\dfrac{\pi}{3}$ yazarsak, $$cos(3t-\pi)\cdot cos(t)=-1\Rightarrow cos(3t)\cdot cos(t)=1\Rightarrow t=n\pi, \space n\in \mathbb{Z}\Rightarrow \dfrac{x}{2a}=n-\dfrac{1}{3}$$ Buradan $a$'nın $3$'ün, $x$'in $2$'nin katı olması gerektiği görülür. Aynı zamanda $(1)$ nolu denklemden $a$'nın da çift olması gerektiği görülür. Eğer $a=6m$ dersek, $x=4m(3n-1)$ olur. Yani her çözüm olmasını sağlayan her $a$ için sonsuz $x$ çözümü vardır.
Başlık: Ynt: Trigonometri sorusu
Gönderen: AtakanCİCEK - Şubat 11, 2019, 12:02:24 öö
Aldığım kaynakta x için aralık belirtilmesi unutulmus sanırım
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal