Geomania.Org Forumları

Her $x \in \lbrack 0, \infty) $ için, $$\begin{array}{l} 4f(x)\ge 3x \\ f(4f(x)-3x)=x \\ (f(x)+x)f(f(x))\le 2xf(x) \end{array}$$ koşullarını sağlayan tüm $f:\lbrack 0,\infty) \to \lbrack 0,\infty) $ fonksiyonlarını bulunuz.

$m(\widehat{A})>m(\widehat{B})$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $ \lbrack AB\rbrack $ kenarının orta noktası $N$ dir. $[AC$ ışını üstünde $C$ den sonra gelecek ve $\vert BC\vert =|CD|$ olacak biçimde bir $D$ noktası; $[DN$ ışını üstünde de, $m(\widehat{PBC})=m(\widehat{A})$ olacak biçimde bir $P$ noktası alınıyor. $PC$ ile $AB$ nin kesiştiği nokta $E;$ $BC$ ile $DP$ nin kesiştiği nokta $T$ ise, $$\dfrac{\vert BC\vert }{\vert TC\vert }-\dfrac{\vert EA\vert }{\vert EB\vert }$$ ifadesinin değerini bulunuz.

Başlangıçta $1$ den $2005$ e kadar olan bütün tam sayılar işaretleniyor. Ardışık tam sayılardan oluşan sonlu bir dizideki tüm tam sayılar işaretli olup, dizinin en küçük teriminin bir eksiği ile en büyük teriminin bir fazlası işaretsiz ise, bu diziye bir blok diyoruz. Her hamlede, işaretlenmiş sayıların hiçbir blokun ilk ya da son terimini içermeyen bir altkümesini seçip, bu altkümenin elemanlarının işaretlerini siliyor ve işaretli en büyük sayının iki fazlasından başlayarak, işaretini sildiğimiz sayıda tam sayıyı yeni bir blok oluşturacak şekilde işaretliyoruz. Bu hamleleri, her biri tam olarak bir tam sayıdan oluşan $2005$ blok elde etmek amacıyla yaparsak, bu amaca en az kaç hamlede ulaşabiliriz?

$n\ge 2$ olmak üzere, tüm $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ tam sayıları için, $\prod\limits_{1\le i<j\le n}{(j-i)}$ sayısının $\prod\limits_{1\le i<j\le n}{(a_{j}-a_{i})}$ sayısını böldüğünü kanıtlayınız.

$m(\widehat{A})=90^{\circ}$ ve $m(\widehat{C})>m(\widehat{B})$ koşullarını sağlayan bir $ ABC$ üçgeninde, $A$ noktasından bu üçgenin $\Gamma $ çevrel çemberine çizilen teğet, $BC$ doğrusunu $D$ noktasında kesiyor. $A $ noktasının $BC$ doğrusuna göre simetriği $E$; $A$ noktasından $ BE$ ye çizilen dikmenin ayağı $X;$ $[AX]$ nın orta noktası $Y$; $\Gamma $ çemberinin $BY$ doğrusunu $B$ dışında kestiği nokta $Z$ olsun. $BD$ doğrusunun $ADZ$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

Elimizde, her renkten aynı sayıda top olacak biçimde, $k$ farklı renkte $5040$ tane top var. Topları, her torbaya farklı renkte iki top düşecek biçimde, $2520$ torbaya koyuyoruz. Topların torbalara dağılımı nasıl olursa olsun, bu torbaları bir çember üstüne, herhangi ardışık iki tanesinde aynı renkte iki top olmayacak biçimde yerleştirebiliyorsak, $ k$ en az kaç olabilir?