Geomania.Org Forumları

Merkezi $O$ ile gösterilen bir çember ile bu çemberin bir $[AB]$ çapı, $A$ noktasındaki teğeti ve bu çapa paralel olan bir $[CD]$ kirişi çiziliyor. $BC$ ve $BD$ doğrularının $A$ dan geçen teğeti kestikleri noktalar $E$ ve $F$ ile gösterilmek üzere, $|AB|=10$ için $|AE|\cdot |AF|$ çarpımını hesaplayınız.



Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

$1$ den $20$ ye kadar olan tam sayılardan her biri aşağıdaki şekilde işaretlenmiş noktalara yerleştiriliyor. İki işaretlenmiş noktayı birleştiren, şekilde çizili doğru parçası üzerinde başka hiçbir işaretlenmiş nokta yoksa, bu iki noktaya komşu noktalar diyoruz. Sayıları nasıl yerleştirirsek yerleştirelim, üstlerindeki sayıların farkının $3$ ten büyük olduğu en az iki komşu noktanın bulunduğunu kanıtlayınız.




Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

$d(n)$ ile $n$ tam sayısını bölen en büyük tek tam sayıyı gösterelim. $d(1)+d(2)+d(3)+\cdots +d(2^{99})$ toplamını hesaplayınız.



Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.