Dar açılı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $BC$ üzerindeki $P$, $A$ dan geçen yüksekliğin ayağı olsun. $\angle BCA \geq \angle ABC + 30^\circ$ olduğunu kabul edelim. $\angle CAB + \angle COP < 90^\circ$ olduğunu kanıtlayınız.
Her pozitif gerçel $a,b,c$ sayıları için $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$$ olduğunu kanıtlayınız.
$n$, $1$ den büyük tek bir tam sayı olsun. $k_1,k_2,\dots,k_n$ tam sayıları verilsin. $1,2,\dots,n$ sayılarının her $a=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ permütasyonu için $$S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}k_ia_i$$ şeklinde tanımlanıyor. $n!$, $S(b)-S(c)$ yi bölecek şekilde $b$ ve $c$ permütasyonlarının ($b\neq c$) olduğunu kanıtlayınız.
$ABC$ üçgeninde, $BC$ üzerine $P$ noktası, $CA$ üzerinde $Q$ noktası, $AP$ doğrusu $\angle BAC$ nin açıortayı, $BQ$ doğrusu da $\angle ABC$ nin açıortayı olacak şekilde alınıyor. $\angle BAC=60^\circ$ ve $AB+BP=AQ+QB$ olduğunu biliniyor. Buna göre, $ABC$ üçgeninin açılarının alabileceği değerleri bulunuz?