$20)$ $P(x,y)=(x-y).Q(x,y)$ şeklinde bir $Q(x,y)$ şeklinde bir $Q$ polinomu vardır.
Polinom simetrik ise $P(x,y)=P(y,x)$ olmalıdır. O halde $P(y,x)$ polinomunun $Q$ polinomu cinsinden yazılımını bulup denklemi kuralım.
$P(y,x)=(y-x).Q(y,x)$ eşitliği elde edilir $P(x,y)=P(y,x)$ olduğunu kullanalım.
$(x-y).Q(x,y)=(y-x).Q(y,x)$ ifadesinde her iki tarafı $x-y$ ile bölelim.
$Q(x,y)=-Q(y,x)$ yani $Q(x,y)+Q(y,x)=0$ eşitliği elde edilir. $x=y$ için $Q(x,x)=0$ yani $y$'e göre polinomu denklem şeklinde düşündüğümüzde $y$ yerine $x$ koyduğumuzda $0$ olduğu için $y=x$ denklemin köküdür. O halde $Q(x,y)$ polinomu
$Q(x,y)=(x-y).R(x,y)$ şeklinde yazılabilir. Bu eşitliği en başta yerine koyarsak
$P(x,y)=(x-y)^2.R(x,y)$ şeklinde yazılır.
İspat bitmiştir.