Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 06

[AtakanCİCEK]

$\dfrac{2019^p-27^p}{p}$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan $p$ asal sayılarının toplamı kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 46 \qquad\textbf{b)}\ 58  \qquad\textbf{c)}66 \qquad\textbf{d)}78  \qquad\textbf{e)}\ 88$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{E}$

$2019^p-27^p$ sayının çarpanlarından biri daima $2019-27=1992$ olmalıdır.
$1992=2^3.3.83$ olduğundan $p=2$ , $p=3$, $p=83$ için bu sayı tamsayı olur .
$p$ asal sayılarının toplamı $2+3+83=88$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

$\dfrac{2019^p-27^p}{p} \in \mathbb Z \iff 2019^p-27^p \equiv 0 \pmod{p}$ olmasıdır.

Fermat teoremine göre her $a\in \mathbb Z$ ve her $p$ asal sayısı için $a^p \equiv a \pmod{p}$ dir. Buna göre,  $2019^p \equiv 2019 \pmod{p}$ ve $27^p \equiv 27 \pmod{p}$ olup bunların farkı $2019^p-27^p \equiv 2019 - 27 \equiv 1992\pmod{p}$ dir. O halde  $1992 \equiv 0\pmod{p}$ denkliğini sağlayan $p$ asal sayılarını bulmak gerekli ve yeterlidir. $1992 = 2^3\cdot 3 \cdot 83 $ olduğundan $p$ nin alabileceği değerlerin toplamı $2 + 3 + 83 = 88$ olarak bulunur.