Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 04

[Squidward]

Her elemanı $6^{12}$ sayısının bir pozitif böleni olan ve herhangi iki farklı elemanının çarpımı tam küp olmayan bir kümede en çok kaç eleman bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 65 \qquad\textbf{b)}\ 70  \qquad\textbf{c)}\ 73 \qquad\textbf{d)}\ 77 \qquad\textbf{e)}\ 80$

[Kerem123]

Her m, n tam sayıları {0,1,2} kümesinin bir elemanı olmak üzere A_km
 ={2^s3^t : 0 =< s, t  =< 12, s mod 3 te m ye ve  t mod 3 te ye denk olsun}. Çarpımları tam küp olan iki eleman içermeyen bir küme ; A_00 dan en Fazla 1. A_01birleşimA_02 den en fazla 20. A_10birleşimA_20 den en fazla 20, A_11 birleşim A_22 den en fazla 16,A_12birleşimA_21den enfazla 16 toplamda 73 eleman içerebilir. 73 elemanı {1}birleşimA_01birleşimA_10birleşimA_11birleşimA_12 kümesi de Çarpımları tam küp olan iki eleman yoktur.

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Cevap: $73$.

Her $i, j \in\{0,1,2\}$ için $A_{i j}=\left\{2^s 3^t: 0 \leq s, t \leq 12, s \equiv i \pmod 3, t \equiv j \pmod 3 \right \}$ olsun. Çarpımları tam küp olan iki eleman içermeyen bir küme; $A_{00}$ dan en fazla $1$, $A_{01} \cup A_{02}$ den en fazla $20$, $A_{10} \cup$ $A_{20}$ den en fazla $20$, $A_{11} \cup A_{22}$ den en fazla $16$, $A_{12} \cup A_{21}$ den en fazla $16$, toplamda en fazla $73$ eleman içerebilir. $73$ elemanlı $\{1\} \cup A_{01} \cup A_{10} \cup A_{11} \cup A_{12}$ kümesinde çarpımları tam küp olan iki eleman yoktur.

Kaynak: Tübitak 26. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2018