Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1976 Soru 1

[geo]

Düzlemde, alanı $32$ olan bir dışbükey dörtgenin karşılıklı iki kenarı ile bir köşegeninin uzunlukları toplamı $16$ dır. Diğer köşegenin uzunluğunun alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

[geo]

$AB=a$, $BD=e$, $CD=c$ ve $a+c+e = 16$ olsun. $AO \geq GO$ dan $\dfrac{(a+c) + e}2 \geq \sqrt{e(a+c)} \Rightarrow 64 \geq e(a+c)$.
$[ABC] \leq \frac 12 \cdot a \cdot e$ ve $[BCD] \leq \frac 12 \cdot c \cdot e$ olacağı için $32 = [ABCD] \leq \frac 12 \cdot e \cdot (a+c) \leq 32$ olacaktır.
Eşitsizlikte, eşitliğin sağlanması için $e=a+c = 8$ ve $\angle ABD = \angle BDC = 90^\circ$ olması gerekir.
$A$ dan geçen $BD$ ye paralel olan doğru ile $CD$ doğrusu $F$ de kesişsin. Ayrıca, $AB\parallel CD$ olduğu için $AF=e=8$ ve $DF=a$ dır. Bu durumda, $\triangle AFC$ dik üçgeninde, $AF=FC=8$  olduğu için $AC$ hipotenüsü $8\sqrt 2$ dir. $\blacksquare$