Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 23

[Lokman Gökçe]

$\quad$

Şekildeki $O$ ve $O^\prime $ merkezli birbirine teğet çemberlerin yarıçapları sırası ile $R$ ve $r$ dir. Ortak teğet uzunluğu $|AB|=2\sqrt{3} $ ve dairesel bölgelerin alanları toplamı $10 \pi$ ise $R + r $ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1+\sqrt{3} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{2}  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2+\sqrt{6} \qquad\textbf{e)}\ 4 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$



$O^\prime $ noktasından $AO$ ya inen dikme ayağı $C$ olsun. $|CO^\prime |=2\sqrt{3}$, $ |OO^\prime| =R+r $, $|OC|=R-r$ dir. $COO^\prime $ dik üçgeninde $ (R+r)^2 = (R-r)^2 + (2\sqrt 3)^2$ olup $$Rr=3 \tag{1}$$ elde edilir.

Ayrıca dairelerin alanlar toplamından $\pi (R^2 + r^2)=10\pi $ olup $$R^2 + r^2 = 10 \tag{2}$$ bulunur.

$(1)$ ve $(2)$ denklemlerinden $(R+r)^2 = R^2 + r^2 + 2Rr = 10 + 6 = 16 $ olup $R+r = 4$ bulunur.