Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2013 Soru 4

[geo]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, Ayşe ve Burak aşağıda tanımlanan oyunu oynuyorlar:

• Ayşe, birbirinden farklı olması gerekmeyen $n$ tane gerçel sayı seçiyor
• Ayşe, seçtiği sayıların tüm ikili toplamlarını bir kağıt üzerine yazıp Burak'a veriyor (Kağıtta $\frac {n(n-1)}2$ tane birbirinden farklı olması gerekmeyen sayı yazılıdır)
• Burak, Ayşe'nin oyunun başında seçtiği $n$ tane sayıyı doğru olarak belirlerse oyunu kazanıyor

Burak aşağıdaki durumlarda oyunu kesinlikle kazanacağından emin olabilir mi?
a. $n = 5 \quad$ b. $n = 6 \quad$ c. $n = 8$
Cevaplarınızı açıklayınız.

[Örneğin $n = 4$ durumunda Ayşe $1, 5, 7, 9$ sayılarını seçerse, $2, 4, 6, 10$ sayıları da aynı ikili toplamları vereceği için, Burak oyunu kesinlikle kazanacağından emin olamaz.]

[Lokman Gökçe]

$n=5$ için inceleyelim: Ayşe'nin seçtiği sayıların $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5 $ olduğunu kabul edelim. Bu $x_i$ sayılarının ikişerli toplamları sonucunda $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_9 \leq a_{10} $ sayıları elde edilmiş olsun. En küçük iki değer $x_1+x_2=a_1$, $x_1+x_3=a_2$ olur. $10$ denklemi taraf tarafa toplarsak $4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 ) = a_1 + a_2 + \cdots + a_{10}$ olup $x_1+x_2=a_1$, $x_1+x_3=a_2$ eşitlikleri yardımıyla $x_3$ çözülür. Bu değeri kullanarak $x_1,x_2,x_4,x_5$ değerleri tek türlü çözülür, Burak kazanır.

$n=6$ için inceleyelim: Ayşe'nin seçtiği sayıların $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5 \leq x_6$ olduğunu kabul edelim. Bu $x_i$ sayılarının ikişerli toplamları sonucunda $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_{14} \leq a_{15} $ sayıları elde edilmiş olsun. En küçük iki değer $x_1+x_2=a_1$, $x_1+x_3=a_2$ olur. En büyük iki değer  $x_5+x_6=a_{15}$, $x_4+x_6=a_{14}$ olur. $15$ tane denklemi taraf tarafa toplarsak $5(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)=a_1 + a_2 + \cdots + a_{15}$ (1) olur. $x_1+x_2=a_1$, $x_1+x_3=a_2$ eşitlikleri yardımıyla $x_3+x_4$ değeri hesaplanır. Ayrıca $x_1+x_2=a_1$ ve $x_4+x_6=a_{14}$ değerleri (1) de yazılırsa $x_3+x_5$ değeri bulunur. $x_1+x_3=a_2$ ve $x_5+x_6=a_{15}$ değerleri (1) de yazılırsa $x_2+x_4$ değeri bulunur. En küçük üçüncü terimi ve en büyük üçüncü terimi inceleyelim. ${x_1+x_4,x_2+x_3}$ den biri $a_3$ olmak zorundadır. ${x_3+x_6,x_4+x_5}$ den biri de $a_{13}$ olmalıdır. Bu halde

$\left\{\begin{array}{cc}x_1+x_4=a_3 \\x_3+x_6=a_{13}  \end{array}\right. $  , $\left\{\begin{array}{cc}x_1+x_4=a_3 \\x_4+x_5=a_{13}  \end{array}\right. $  , $\left\{\begin{array}{cc}x_2+x_3=a_3 \\x_3+x_6=a_{13}  \end{array}\right. $  , $\left\{\begin{array}{cc}x_2+x_3=a_3 \\x_4+x_5=a_{13}  \end{array}\right. $

denklem sistemlerinden yalnızca biri öncekilerle tutarlıdır. $x_i$ değerleri tek türlü çözülür, Burak kazanır.

$n=8$ için bir ters örnek vermek yeterlidir: $1,5,7,9,12,14,16,20$ ve $2,4,6,10,11,15,17,19$ için aynı toplamlar elde edilir. Yani Burak kazanmayı garantileyemez.